Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3092
2019-05-19 
Доказать неравенство
$n(1 + a^{2n}) - a^{n} \geq a^{2n-1} + a^{2n - 2} + \cdots + a^{2} + a$,
если $a > 0$ и $n$ - натуральное число.
Решение:
Разделим обе части неравенства на $a^{n}$. Получим неравенство, эквивалентное данному, поскольку $a > 0$ и, следовательно, $a^{n} > 0$. Сгруппировав члены, придем к следующему неравенству:
$n \left ( a^{n} + \frac{1}{a^{n} } \right ) \geq \left ( a^{n - 1} + \frac{1}{a^{n - 1} } \right ) + \left ( a^{n - 2} + \frac{1}{a^{n-2} } \right ) + \cdots + \left (a + \frac{1}{a} \right ) + (1 + 1)$.
Докажем, что $a^{n} + \frac{1}{a^{n} } \geq a^{n-k} + \frac{1}{a^{n-k} }$, если $2n > k > 0$ и $a > 0$. Преобразуем это неравенство к виду:
$\frac{a^{2n} + 1}{a^{n} } - \frac{a^{2(n - k)} + 1 }{a^{n - k} } \geq 0$,
Преобразуем левую часть неравенства:
$\frac{(a^{2n} + 1) - (a^{2n - k} + a^{k} ) }{a^{n} } = \frac{a^{2n} - a^{2n - k} - a^{K} + 1 }{a^{n} } = \frac{a^{2n - k} (a^{k } - 1 ) - (a^{k} - 1 ) }{a^{n} } = \frac{(a^{k} - 1 )(a^{2n - k} -1 )}{a^{n} }$.
У полученной дроби знаменатель положителен; при $a > 1$ сомножителя числителя положительны, поскольку $2n > k > 0$; итак, при $a > 1$ дробь положительна. При $a < 1$ оба сомножителя числителя отрицательны, следовательно, числитель положителен и вся дробь положительна. При $a = 1$ наше неравенство превращается в тождество: $2n - 1 = 2n - 1$.
Таким образом, справедливость данного неравенства доказана.
Доказать неравенство
$n(1 + a^{2n}) - a^{n} \geq a^{2n-1} + a^{2n - 2} + \cdots + a^{2} + a$,
если $a > 0$ и $n$ - натуральное число.
Решение:
Разделим обе части неравенства на $a^{n}$. Получим неравенство, эквивалентное данному, поскольку $a > 0$ и, следовательно, $a^{n} > 0$. Сгруппировав члены, придем к следующему неравенству:
$n \left ( a^{n} + \frac{1}{a^{n} } \right ) \geq \left ( a^{n - 1} + \frac{1}{a^{n - 1} } \right ) + \left ( a^{n - 2} + \frac{1}{a^{n-2} } \right ) + \cdots + \left (a + \frac{1}{a} \right ) + (1 + 1)$.
Докажем, что $a^{n} + \frac{1}{a^{n} } \geq a^{n-k} + \frac{1}{a^{n-k} }$, если $2n > k > 0$ и $a > 0$. Преобразуем это неравенство к виду:
$\frac{a^{2n} + 1}{a^{n} } - \frac{a^{2(n - k)} + 1 }{a^{n - k} } \geq 0$,
Преобразуем левую часть неравенства:
$\frac{(a^{2n} + 1) - (a^{2n - k} + a^{k} ) }{a^{n} } = \frac{a^{2n} - a^{2n - k} - a^{K} + 1 }{a^{n} } = \frac{a^{2n - k} (a^{k } - 1 ) - (a^{k} - 1 ) }{a^{n} } = \frac{(a^{k} - 1 )(a^{2n - k} -1 )}{a^{n} }$.
У полученной дроби знаменатель положителен; при $a > 1$ сомножителя числителя положительны, поскольку $2n > k > 0$; итак, при $a > 1$ дробь положительна. При $a < 1$ оба сомножителя числителя отрицательны, следовательно, числитель положителен и вся дробь положительна. При $a = 1$ наше неравенство превращается в тождество: $2n - 1 = 2n - 1$.
Таким образом, справедливость данного неравенства доказана.
