Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3091
2019-05-19 
Доказать, что наименьшее из чисел $(a - b)^{2}, (b - c)^{2}, (c - a)^{2}$ меньше или равно числу $0,5(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Решение:
Очевидно, можно считать $a \geq b \geq c$.
Предположим, что доказываемое неравенство не имеет места, то есть $a - b > \frac{1}{ \sqrt{2} } \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} }$ и $b - c > \frac{1}{ \sqrt{2} } \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} }$.
Сложив неравенства, получим $a - c > \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.
Отсюда $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Заметим, что $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Тогда получим: $3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) < 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a + b + c)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Противоречие.
Доказать, что наименьшее из чисел $(a - b)^{2}, (b - c)^{2}, (c - a)^{2}$ меньше или равно числу $0,5(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Решение:
Очевидно, можно считать $a \geq b \geq c$.
Предположим, что доказываемое неравенство не имеет места, то есть $a - b > \frac{1}{ \sqrt{2} } \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} }$ и $b - c > \frac{1}{ \sqrt{2} } \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} }$.
Сложив неравенства, получим $a - c > \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.
Отсюда $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Заметим, что $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Тогда получим: $3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) < 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a + b + c)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Противоречие.
