Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3090
2019-05-19 
Числа $m, n$ - целые положительные и $\frac{m}{n} < \sqrt{2}$. Доказать, что $\sqrt{2} - \frac{m}{n} > \frac{1}{2 \sqrt{2} n^{2} }$.
Решение:
По условию $2n^{2} - m^{2}$ - целое положительное число. Следовательно, $2n^{2} - m^{2} \geq 1$, или $(n \sqrt{2} + m)(n \sqrt{2} - m) \geq 1$. Так как $m < n \sqrt{2}$, то $m + n \sqrt{2} < 2n \sqrt{2}$,
Отсюда следует, что $n \sqrt{2} - m \geq \frac{1}{n \sqrt{2} + m } > \frac{1}{2n \sqrt{2} }$. Разделив обе части этого неравенства на $n$, получим: $\sqrt{2} - \frac{m}{n} > \frac{1}{2 \sqrt{2} n^{2} }$, что и требовалось доказать.
Числа $m, n$ - целые положительные и $\frac{m}{n} < \sqrt{2}$. Доказать, что $\sqrt{2} - \frac{m}{n} > \frac{1}{2 \sqrt{2} n^{2} }$.
Решение:
По условию $2n^{2} - m^{2}$ - целое положительное число. Следовательно, $2n^{2} - m^{2} \geq 1$, или $(n \sqrt{2} + m)(n \sqrt{2} - m) \geq 1$. Так как $m < n \sqrt{2}$, то $m + n \sqrt{2} < 2n \sqrt{2}$,
Отсюда следует, что $n \sqrt{2} - m \geq \frac{1}{n \sqrt{2} + m } > \frac{1}{2n \sqrt{2} }$. Разделив обе части этого неравенства на $n$, получим: $\sqrt{2} - \frac{m}{n} > \frac{1}{2 \sqrt{2} n^{2} }$, что и требовалось доказать.
