2014-06-07
Плоскость пересекает три ребра тетраэдра, выходящие из одной вершины. Доказать, что эта плоскость разбивает поверхность тетраэдра на части, пропорциональные объемам соответствующих частей тетраэдра, тогда и только тогда, когда она проходит через центр сферы, вписанной в тетраэдр.
Решение:
Обозначим через $V, S$ и $r$ объем, площадь поверхности тетраэдра и радиус вписанной в него сферы. Одна из частей, на которые плоскость разбивает тетраэдр, есть пирамида с основанием, лежащим в этой плоскости. Обозначим через $V_{1}, S_{1}$ и $r_{1}$ объем, площадь боковой поверхности этой пирамиды и радиус сферы с центром на ее основании, касающейся ее боковых граней. Основание пирамиды проходит через центр сферы, вписанной в тетраэдр, тогда и только тогда, когда $r =
r_{1}$. Последнее равенство, согласно формулам
$V = (1/3) Sr, V_{1} = (1/3)S_{1}r_{1}$,
равносильно равенству
$\frac{V}{V_{1}} = \frac{S}{S_{1}}$ т.е. $\frac{V – V_{1}}{V_{1}} = \frac{S- S_{1}}{S_{1}}$,
что и доказывает утверждение задачи.