Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3089
2019-05-19 
Числа $x_{n}$ определяются рекуррентно:
$x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{4} + 9 }{10x_{n} }, x_{1} = 2$.
Доказать, что $\frac{4}{5} < x_{n} \leq \frac{5}{4}$ при всех $n > 1$.
Решение:
Докажем, что $x_{n} > \frac{1}{2}$. Очевидно, все числа $x_{n}$ положительны. Имеем:
$x_{n} = \frac{x_{n - 1}^{4} + 9 }{10x_{n - 1} } = \frac{x_{n - 1}^{3} }{10} + \frac{3}{10x_{n-1} } + \frac{3}{10_{n-1} } + \frac{3}{10x_{n - 1} } \geq 4 \sqrt{ \frac{x_{n - 1}^{3} }{10} \cdot \frac{3}{10x_{n-1} } \cdot \frac{3}{10_{n-1} } \cdot \frac{3}{10x_{n - 1} } } = \frac{2}{5} \sqrt[4]{27} > \frac{4}{5}$.
Здесь мы воспользовались тем, что среднее арифметическое нескольких чисел больше их среднего геометрического.
Докажем, что $x_{n} \leq \frac{5}{4}$.
Сначала заметим, что $x_{2} = \frac{5}{4}$. Далее исследуем, в каких случаях $x_{n+1} \leq x_{n}$, т.е. $x_{n} \geq \frac{x_{n}^{4} + 9 }{10x_{n} }$, или $x_{n}^{4} - 10x_{n}^{2} + 9 \leq 0$. Это соотношение справедливо тогда, когда $1 \leq x_{n}^{9} \leq 9$. Отсюда, если $1 \leq x_{n} \leq \frac{5}{4}$, то и $x_{n + 1} \leq \frac{5}{4}$. Если же $x_{n} < 1$, то $x_{n} = \frac{9 + x_{n}^{4} }{10x_{n} } < \frac{10}{10x_{n} } < \frac{5}{4}$.
Числа $x_{n}$ определяются рекуррентно:
$x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{4} + 9 }{10x_{n} }, x_{1} = 2$.
Доказать, что $\frac{4}{5} < x_{n} \leq \frac{5}{4}$ при всех $n > 1$.
Решение:
Докажем, что $x_{n} > \frac{1}{2}$. Очевидно, все числа $x_{n}$ положительны. Имеем:
$x_{n} = \frac{x_{n - 1}^{4} + 9 }{10x_{n - 1} } = \frac{x_{n - 1}^{3} }{10} + \frac{3}{10x_{n-1} } + \frac{3}{10_{n-1} } + \frac{3}{10x_{n - 1} } \geq 4 \sqrt{ \frac{x_{n - 1}^{3} }{10} \cdot \frac{3}{10x_{n-1} } \cdot \frac{3}{10_{n-1} } \cdot \frac{3}{10x_{n - 1} } } = \frac{2}{5} \sqrt[4]{27} > \frac{4}{5}$.
Здесь мы воспользовались тем, что среднее арифметическое нескольких чисел больше их среднего геометрического.
Докажем, что $x_{n} \leq \frac{5}{4}$.
Сначала заметим, что $x_{2} = \frac{5}{4}$. Далее исследуем, в каких случаях $x_{n+1} \leq x_{n}$, т.е. $x_{n} \geq \frac{x_{n}^{4} + 9 }{10x_{n} }$, или $x_{n}^{4} - 10x_{n}^{2} + 9 \leq 0$. Это соотношение справедливо тогда, когда $1 \leq x_{n}^{9} \leq 9$. Отсюда, если $1 \leq x_{n} \leq \frac{5}{4}$, то и $x_{n + 1} \leq \frac{5}{4}$. Если же $x_{n} < 1$, то $x_{n} = \frac{9 + x_{n}^{4} }{10x_{n} } < \frac{10}{10x_{n} } < \frac{5}{4}$.
