Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3088
2019-05-19 
Найти $n$ из уравнения
$\cos 40^{ \circ} + \cos 80^{ \circ} + \cdots + \cos 40^{ \circ} \cdot n = \cos 20^{ \circ}$.
Решение:
Домножив и разделив левую часть уравнения на $\sin \frac{40^{ \circ} }{2} = \sin 20^{ \circ}$, приведем уравнение к виду:
$\frac{1}{2} \left [ \frac{\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} }{ \sin 20^{ \circ} } - 1 \right ] = \cos 20^{ \circ}$.
Имеем:
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = \sin 20^{ \circ} + \sin 40^{ \circ}$,
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = 2 \sin 30^{ \circ} \cdot \sin 10^{ \circ}$,
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = \sin 80^{ \circ}$,
$\sin \frac{n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} }{2} \cdot \cdot \frac{n \cdot 40^{ \circ} + 100^{ \circ} }{2} = 0$.
Отсюда либо $n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} = 360^{ \circ} k$, либо $80^{ \circ} - n \cdot 40^{ \circ} = 360^{ \circ} l$ ($k$ и $l$ - целые числа).
Пусть $n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} = 360^{ \circ} k$. Тогда $2n = 3 (6k + 1)$, что невозможно. Если $80^{ \circ} - n \cdot 40^{ \circ} = 360^{ \circ} l$ то $2 - n = 9l$.
Ответ: $n = 2 + 9l$, где $l \geq 0$.
Другой вариант решения может быть основан на следующем факте: сумма любых девяти последовательных слагаемых в левой части уравнения равна нулю. Отсюда достаточно проверить выполнение равенства для $1 \leq n \leq 9$ что, как и само доказательство указанного факта, удобнее всего провести на тригонометрическом круге.
Найти $n$ из уравнения
$\cos 40^{ \circ} + \cos 80^{ \circ} + \cdots + \cos 40^{ \circ} \cdot n = \cos 20^{ \circ}$.
Решение:
Домножив и разделив левую часть уравнения на $\sin \frac{40^{ \circ} }{2} = \sin 20^{ \circ}$, приведем уравнение к виду:
$\frac{1}{2} \left [ \frac{\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} }{ \sin 20^{ \circ} } - 1 \right ] = \cos 20^{ \circ}$.
Имеем:
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = \sin 20^{ \circ} + \sin 40^{ \circ}$,
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = 2 \sin 30^{ \circ} \cdot \sin 10^{ \circ}$,
$\sin \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \cdot 40^{ \circ} = \sin 80^{ \circ}$,
$\sin \frac{n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} }{2} \cdot \cdot \frac{n \cdot 40^{ \circ} + 100^{ \circ} }{2} = 0$.
Отсюда либо $n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} = 360^{ \circ} k$, либо $80^{ \circ} - n \cdot 40^{ \circ} = 360^{ \circ} l$ ($k$ и $l$ - целые числа).
Пусть $n \cdot 40^{ \circ} - 60^{ \circ} = 360^{ \circ} k$. Тогда $2n = 3 (6k + 1)$, что невозможно. Если $80^{ \circ} - n \cdot 40^{ \circ} = 360^{ \circ} l$ то $2 - n = 9l$.
Ответ: $n = 2 + 9l$, где $l \geq 0$.
Другой вариант решения может быть основан на следующем факте: сумма любых девяти последовательных слагаемых в левой части уравнения равна нулю. Отсюда достаточно проверить выполнение равенства для $1 \leq n \leq 9$ что, как и само доказательство указанного факта, удобнее всего провести на тригонометрическом круге.
