Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3087
2019-05-19 
Сколько решений имеет система уравнений:
$\cos x_{1} = x_{2}$
$\cos x_{2} = x_{3}$
$\cdots$
$\cos x_{n - 1} = x_{n}$
$\cos x_{n} = x_{1}$?
Решение:
Докажем сначала, что $| \cos z - \cos t | \leq | z - t |$, причем знак равенства имеет место лишь при $z = t$. Из рис. очевидно, что $| \cos z - \cos t | = | AB |$, а $| z - t|$ равняется длине дуги CD. Отсюда следует наше утверждение.
Вычтя из первого уравнения второе, получим $\cos x_{1} - \cos x_{2} = x_{2} - x_{3}$. Отсюда, воспользовавшись только что доказанным утверждением, получим $| x_{2} - x_{2} | \geq | x_{2} - x_{3}|$. Аналогично выписываем $| x_{2} - x_{3} | \geq | x_{3} - x_{4} | \geq \cdot \geq | x_{n - 1} - x_{n} | \geq |x_{n} - x_{1} | \geq |x_{1} - x_{2} |$.
Последнее неравенство получается из рассмотрения разности последнего и первого уравнений. Значит, всюду должны стоять знаки равенства. Но по ранее доказанному ЭТО может быть лишь при $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n}$.
Осталось заметить, что уравнение $\cos x = x$ имеет единственное решение. Отсюда и система уравнений имеет единственное решение.
Сколько решений имеет система уравнений:
$\cos x_{1} = x_{2}$
$\cos x_{2} = x_{3}$
$\cdots$
$\cos x_{n - 1} = x_{n}$
$\cos x_{n} = x_{1}$?
Решение:
Докажем сначала, что $| \cos z - \cos t | \leq | z - t |$, причем знак равенства имеет место лишь при $z = t$. Из рис. очевидно, что $| \cos z - \cos t | = | AB |$, а $| z - t|$ равняется длине дуги CD. Отсюда следует наше утверждение.
Вычтя из первого уравнения второе, получим $\cos x_{1} - \cos x_{2} = x_{2} - x_{3}$. Отсюда, воспользовавшись только что доказанным утверждением, получим $| x_{2} - x_{2} | \geq | x_{2} - x_{3}|$. Аналогично выписываем $| x_{2} - x_{3} | \geq | x_{3} - x_{4} | \geq \cdot \geq | x_{n - 1} - x_{n} | \geq |x_{n} - x_{1} | \geq |x_{1} - x_{2} |$.
Последнее неравенство получается из рассмотрения разности последнего и первого уравнений. Значит, всюду должны стоять знаки равенства. Но по ранее доказанному ЭТО может быть лишь при $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n}$.
Осталось заметить, что уравнение $\cos x = x$ имеет единственное решение. Отсюда и система уравнений имеет единственное решение.
