Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3086
2019-05-19 
Найти все целые решения системы уравнений
$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3. \end{cases}$
Решение:
Возведем первое уравнение в куб и вычтем второе:
$(x + y + z)^{3} - x^{3} - y^{3} - z^{3} = 24$.
Разложим левую часть на множители:
$(x + y + z)^{3} - x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3 (x + y) (x + z) (y + z)$.
Поэтому $(x + y) (x + z) (y + z) = 8$. Но $x + y = 3 - z$. Следовательно, число $3 - z$ является делителем восьми. Перебирая возможные значения, получаем четыре решения: (1,1,1), (-5,4,4), (4,-5,4) и (4,4,-5).
Найти все целые решения системы уравнений
$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3. \end{cases}$
Решение:
Возведем первое уравнение в куб и вычтем второе:
$(x + y + z)^{3} - x^{3} - y^{3} - z^{3} = 24$.
Разложим левую часть на множители:
$(x + y + z)^{3} - x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3 (x + y) (x + z) (y + z)$.
Поэтому $(x + y) (x + z) (y + z) = 8$. Но $x + y = 3 - z$. Следовательно, число $3 - z$ является делителем восьми. Перебирая возможные значения, получаем четыре решения: (1,1,1), (-5,4,4), (4,-5,4) и (4,4,-5).
