Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3085
2019-05-19 
Даны положительные числа $a, b, c (a \geq b \geq c)$. Числа $x, y, z$ удовлетворяют условиям:
$\begin{cases} x + y + z = a + b + c \\ xyz = abc \end{cases}$
Доказать, что если каждое из чисел $x, y, z$ не больше $a$ и не меньше $c$, то $x, y, z$ равны в некотором порядке числам $a, b, c$.
Решение:
Рассмотрим два многочлена:
$P_{1}(t) = (t - a)(t - b)(t - c)$ и $P_{2}(t) = (t- x)(t - y)(t - z)$.
Так как $abc = xyz$ и $a + b + c = x + y + z$, то $P_{1}(t) - P_{2}(t) = kt$.
Покажем, что $k = 0$. Действительно, $P_{1}(a) - P_{2}(a) = ka$, но $P_{1}(a) = 0, a - x \geq 0, a - z \geq 0$.
Поэтому $P_{2}(a) \geq 0$ и $ka \leq 0$.
Аналогично доказывается, что $kc \geq 0$. Значит, $k = 0$ и $P_{1}(t) = P_{2}(t)$. А поскольку числа $a, b$ и $c$ являются корнями многочлена $P_{1}(t)$, а числа $x, y$ и $z$ - корни многочлена $P_{2}(t)$, то числа $a, b$ и $c$ равны в некотором порядке числам $x, y$ и $z$.
Утверждение задачи доказано.
Даны положительные числа $a, b, c (a \geq b \geq c)$. Числа $x, y, z$ удовлетворяют условиям:
$\begin{cases} x + y + z = a + b + c \\ xyz = abc \end{cases}$
Доказать, что если каждое из чисел $x, y, z$ не больше $a$ и не меньше $c$, то $x, y, z$ равны в некотором порядке числам $a, b, c$.
Решение:
Рассмотрим два многочлена:
$P_{1}(t) = (t - a)(t - b)(t - c)$ и $P_{2}(t) = (t- x)(t - y)(t - z)$.
Так как $abc = xyz$ и $a + b + c = x + y + z$, то $P_{1}(t) - P_{2}(t) = kt$.
Покажем, что $k = 0$. Действительно, $P_{1}(a) - P_{2}(a) = ka$, но $P_{1}(a) = 0, a - x \geq 0, a - z \geq 0$.
Поэтому $P_{2}(a) \geq 0$ и $ka \leq 0$.
Аналогично доказывается, что $kc \geq 0$. Значит, $k = 0$ и $P_{1}(t) = P_{2}(t)$. А поскольку числа $a, b$ и $c$ являются корнями многочлена $P_{1}(t)$, а числа $x, y$ и $z$ - корни многочлена $P_{2}(t)$, то числа $a, b$ и $c$ равны в некотором порядке числам $x, y$ и $z$.
Утверждение задачи доказано.
