Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3082
2019-05-19 
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
$\frac{1}{1970} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$?
Решение:
Избавляясь от знаменателя дроби, получаем $1970x + 1970y = xy$, или $(x - 1970)(y - 1970) = 1970^{2}$. Но $1970^{2} = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 197^{2}$, причем 197 - простое число.
Отсюда следует, что число $x-1970$ может содержать множитель 2 в одной из трех степеней: нулевой, первой и второй. Аналогично с множителями 5 и 197. Таким образом, мы получаем $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ различных натуральных значений для числа $x-1970$, то есть 54 различных целых значения этого числа. Все соответствующие значения х, кроме $x=0$, удовлетворяют, очевидно, исходному уравнению (при этом $y = \frac{1970^{2} }{x - 1970} + 1970$).
Окончательно получаем 53 решения.
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
$\frac{1}{1970} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$?
Решение:
Избавляясь от знаменателя дроби, получаем $1970x + 1970y = xy$, или $(x - 1970)(y - 1970) = 1970^{2}$. Но $1970^{2} = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 197^{2}$, причем 197 - простое число.
Отсюда следует, что число $x-1970$ может содержать множитель 2 в одной из трех степеней: нулевой, первой и второй. Аналогично с множителями 5 и 197. Таким образом, мы получаем $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ различных натуральных значений для числа $x-1970$, то есть 54 различных целых значения этого числа. Все соответствующие значения х, кроме $x=0$, удовлетворяют, очевидно, исходному уравнению (при этом $y = \frac{1970^{2} }{x - 1970} + 1970$).
Окончательно получаем 53 решения.
