Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3081
2019-05-19 
Найти все целые решения уравнения: $x^{3} + y^{3} = 1972$.
Решение:
Числа $x$ и $y$, очевидно, одинаковой четности. Более того, вследствие равенства $x^{3} + y^{3} = 4 \cdot 493$ числа $x$ и $y$ оба нечетные. Поэтому в разложении $x^{3} + y^{3}= (x + y)(x^{2} - xy + y^{2})$ во второй скобке стоит нечетное число. Кроме того, число $x^{2}- xy + y^{2}$ положительно. Значит, имеет место одно из двух соотношений: $x + y = 4, x + y = 1972$.
В первом случае $493 = x^{2}+y^{2}-xy = (x+y)^{2} - 3xy = 16 - 3xy$. Поэтому $xy = - 159$. Разлагая это число в произведение двух целых множителей, видим, что сумма этих множителей не равна 4.
Во втором случае из очевидного неравенства $x^{2} + y^{2} - xy \geq | xy |$ следует, что $| xy | \leq 1$. Отсюда $x + y$ не может равняться 1972.
Найти все целые решения уравнения: $x^{3} + y^{3} = 1972$.
Решение:
Числа $x$ и $y$, очевидно, одинаковой четности. Более того, вследствие равенства $x^{3} + y^{3} = 4 \cdot 493$ числа $x$ и $y$ оба нечетные. Поэтому в разложении $x^{3} + y^{3}= (x + y)(x^{2} - xy + y^{2})$ во второй скобке стоит нечетное число. Кроме того, число $x^{2}- xy + y^{2}$ положительно. Значит, имеет место одно из двух соотношений: $x + y = 4, x + y = 1972$.
В первом случае $493 = x^{2}+y^{2}-xy = (x+y)^{2} - 3xy = 16 - 3xy$. Поэтому $xy = - 159$. Разлагая это число в произведение двух целых множителей, видим, что сумма этих множителей не равна 4.
Во втором случае из очевидного неравенства $x^{2} + y^{2} - xy \geq | xy |$ следует, что $| xy | \leq 1$. Отсюда $x + y$ не может равняться 1972.
