2014-06-07
Доказать, что четыре прямые, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда три произведения длин противоположных ребер равны между собой.
Решение:
Для того чтобы две прямые, соединяющие точки В и С c центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и ABD, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы они лежали в одной плоскости. А это в свою очередь равносильно тому, что биссектрисы углов ABD и ACD пересекают ребро AD в одной точке (рис.). Последнее условие, согласно свойству биссектрисы треугольника, выполняется тогда и только тогда, когда
$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}$,
т. е. когда
$AB \cdot CD = AC \cdot BD$.
Таким образом, если четыре прямые, о которых говорится в условии задачи, пересекаются в одной точке, то произведения длин противоположных ребер равны. Обратно, если три указанных произведения равны, то каждые две из четырех прямых пересекаются, причем никакие три из них не лежат в одной плоскости, поэтому все прямые пересекаются в одной точке.