Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3079
2019-05-19 
Доказать, что многочлен $(x + a)^{n}(bx + c)$ имеет не менее $n + 1$ члена, если $bx + x \neq 0, a \neq 0$.
Решение:
Предположим противное. Тогда найдутся хотя бы два различных натуральных числа $k$ и $l$, таких, что коэффициенты при $x^{k}$ и $x^{l}$ многочлена $(x + a)^{n} (bx + c)$ равны нулю. Запишем это:
$c \cdot a^{n - k} \cdot C_{n}^{k} + ba^{n - k + 1} \cdot C_{n}^{l - 1} = 0$,
$c \cdot a^{n - l} \cdot C_{n}^{l} + ba^{n - l + 1} \cdot C_{n}^{k - 1} = 0$.
Поскольку $a \neq 0$, то после упрощений получаем эквивалентную систему равенств
$c(n - k + 1) + abk = 0$,
$c(n - l + 1) + abl = 0$.
Отсюда получаем, что $c=0$ и $ab=0$, что противоречит условию задачи.
Замечание. Верен более общий факт: многочлен $(x + a)^{n} P (x$), где $a \neq 0, P(x) \neq 0$, содержит не менее $n + 1$ члена, однако известное авторам доказательство этого факта опирается на понятие производной.
Доказать, что многочлен $(x + a)^{n}(bx + c)$ имеет не менее $n + 1$ члена, если $bx + x \neq 0, a \neq 0$.
Решение:
Предположим противное. Тогда найдутся хотя бы два различных натуральных числа $k$ и $l$, таких, что коэффициенты при $x^{k}$ и $x^{l}$ многочлена $(x + a)^{n} (bx + c)$ равны нулю. Запишем это:
$c \cdot a^{n - k} \cdot C_{n}^{k} + ba^{n - k + 1} \cdot C_{n}^{l - 1} = 0$,
$c \cdot a^{n - l} \cdot C_{n}^{l} + ba^{n - l + 1} \cdot C_{n}^{k - 1} = 0$.
Поскольку $a \neq 0$, то после упрощений получаем эквивалентную систему равенств
$c(n - k + 1) + abk = 0$,
$c(n - l + 1) + abl = 0$.
Отсюда получаем, что $c=0$ и $ab=0$, что противоречит условию задачи.
Замечание. Верен более общий факт: многочлен $(x + a)^{n} P (x$), где $a \neq 0, P(x) \neq 0$, содержит не менее $n + 1$ члена, однако известное авторам доказательство этого факта опирается на понятие производной.
