Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3078
2019-05-19 
Даны два многочлена $P_{1}(x)$ и $P_{2}(x)$ с целыми коэффициентами. Их произведение есть многочлен, у которого все коэффициенты делятся на пять. Доказать, что хотя бы у одного из данных многочленов все коэффициенты делятся на пять.
Решение:
Предположим противное и разложим тогда каждый из них в сумму двух многочленов
$P_{1}(x) = Q_{1}(x) + R_{1}(x)$ и $P_{2}(x) = Q_{2}(x) + R_{2}(x)$
так, что все коэффициенты многочленов $Q_{1}(x)$ и $Q_{2}(x)$ делятся на 5, а ни один из коэффициентов многочленов $R_{1}(x)$ и R2(x) на 5 не делится. Тогда
$(P_{1}(x) - Q_{1}(x))(P_{2}(x) - Q_{2}(x)) = R_{1}(x) \cdot R_{2}(x)$,
но у многочлена слева, как нетрудно видеть, все коэффициенты делятся на 5, а у многочлена справа старший коэффициент на 5 не делится.
Даны два многочлена $P_{1}(x)$ и $P_{2}(x)$ с целыми коэффициентами. Их произведение есть многочлен, у которого все коэффициенты делятся на пять. Доказать, что хотя бы у одного из данных многочленов все коэффициенты делятся на пять.
Решение:
Предположим противное и разложим тогда каждый из них в сумму двух многочленов
$P_{1}(x) = Q_{1}(x) + R_{1}(x)$ и $P_{2}(x) = Q_{2}(x) + R_{2}(x)$
так, что все коэффициенты многочленов $Q_{1}(x)$ и $Q_{2}(x)$ делятся на 5, а ни один из коэффициентов многочленов $R_{1}(x)$ и R2(x) на 5 не делится. Тогда
$(P_{1}(x) - Q_{1}(x))(P_{2}(x) - Q_{2}(x)) = R_{1}(x) \cdot R_{2}(x)$,
но у многочлена слева, как нетрудно видеть, все коэффициенты делятся на 5, а у многочлена справа старший коэффициент на 5 не делится.
