Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3077
2019-05-19 
Дана несократимая дробь $\frac{p}{q}$. Рассматриваются все несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим $q$. Из дробей, принадлежащих этому множеству и больших $\frac{p}{q}$, выбирается наименьшая $ \frac{x_{1} }{y_{1} }$, а из дробей, принадлежащих этому множеству и меньших $\frac{p}{q}$, наибольшая $\frac{x_{2} }{y_{2} }$. Доказать, что
$\frac{x_{1} + x_{2} }{y_{1} + y_{2} } = \frac{p}{q}$.
Решение:
Помимо решений традиционными способами эта задача имеет также очень изящное геометрическое решение. Оно основано на довольно известной «формула Пика»:
«Площадь простого многоугольника (ограниченного одной самонепересекающейся кривой) с вершинами в узлах квадратной сетки (клетчатой бумаги) равняется площади $j + \frac{r}{2} - 1$ клеток, где $j$ - число узлов сетки внутри многоугольника, а $r$ - число узлов сетки на его границе».
Сопоставим каждой дроби $\frac{x}{y}$ точку плоскости с координатами (х, у). Рассмотрим треугольник ОАВ, вершинами которого являются точки $O(0,0), A(p, q)$ и $B( x_{1}, y_{1} )$. Его площадь равна $\frac{1}{2} (x_{1}q - y_{1}p)$. Но, с другой стороны, в силу несократимости дробей $\frac{p}{q}$ и $\frac{x_{1} }{y_{1} }$ на сторонах ОА и ОВ треугольника ОАВ нет целочисленных точек. Нет их и на отрезке АВ, так как если бы такая точка $C(x, y)$ нашлась, то ее координата $y$ также была бы меньше $q$, а дробь $\frac{x}{y}$ была бы меньше, чем $\frac{x_{1} }{y_{1} }$, но больше, чем $\frac{p}{q}$ (если дробь $\frac{x}{y}$ сократима, то теми же свойствами обладает равная ей несократимая дробь). А это противоречит выбору дроби $\frac{x_{1} }{y_{1} }$
.
Отсюда, по формуле Пика, площадь треугольника OAB равна $\frac{1}{2}$. Сравнивая полученные значения площади треугольника OAB, можем записать равенство: $x_{1}q - y_{1}p = 1$.
Аналогично, рассматривая треугольник OAD, где D - точка с координатами $(x_{2}, y_{2})$, получим равенство $x_{2}q - y_{2}p = -1$.
Сложив полученные равенства и произведя с суммой простейшие преобразования, получим
$\frac{x_{1} + x_{2} }{y_{1} + y_{2} } = \frac{p}{q}$.
Дана несократимая дробь $\frac{p}{q}$. Рассматриваются все несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим $q$. Из дробей, принадлежащих этому множеству и больших $\frac{p}{q}$, выбирается наименьшая $ \frac{x_{1} }{y_{1} }$, а из дробей, принадлежащих этому множеству и меньших $\frac{p}{q}$, наибольшая $\frac{x_{2} }{y_{2} }$. Доказать, что
$\frac{x_{1} + x_{2} }{y_{1} + y_{2} } = \frac{p}{q}$.
Решение:
Помимо решений традиционными способами эта задача имеет также очень изящное геометрическое решение. Оно основано на довольно известной «формула Пика»:
«Площадь простого многоугольника (ограниченного одной самонепересекающейся кривой) с вершинами в узлах квадратной сетки (клетчатой бумаги) равняется площади $j + \frac{r}{2} - 1$ клеток, где $j$ - число узлов сетки внутри многоугольника, а $r$ - число узлов сетки на его границе».
Сопоставим каждой дроби $\frac{x}{y}$ точку плоскости с координатами (х, у). Рассмотрим треугольник ОАВ, вершинами которого являются точки $O(0,0), A(p, q)$ и $B( x_{1}, y_{1} )$. Его площадь равна $\frac{1}{2} (x_{1}q - y_{1}p)$. Но, с другой стороны, в силу несократимости дробей $\frac{p}{q}$ и $\frac{x_{1} }{y_{1} }$ на сторонах ОА и ОВ треугольника ОАВ нет целочисленных точек. Нет их и на отрезке АВ, так как если бы такая точка $C(x, y)$ нашлась, то ее координата $y$ также была бы меньше $q$, а дробь $\frac{x}{y}$ была бы меньше, чем $\frac{x_{1} }{y_{1} }$, но больше, чем $\frac{p}{q}$ (если дробь $\frac{x}{y}$ сократима, то теми же свойствами обладает равная ей несократимая дробь). А это противоречит выбору дроби $\frac{x_{1} }{y_{1} }$
.
Отсюда, по формуле Пика, площадь треугольника OAB равна $\frac{1}{2}$. Сравнивая полученные значения площади треугольника OAB, можем записать равенство: $x_{1}q - y_{1}p = 1$.
Аналогично, рассматривая треугольник OAD, где D - точка с координатами $(x_{2}, y_{2})$, получим равенство $x_{2}q - y_{2}p = -1$.
Сложив полученные равенства и произведя с суммой простейшие преобразования, получим
$\frac{x_{1} + x_{2} }{y_{1} + y_{2} } = \frac{p}{q}$.
