Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3075
2019-05-19 
Доказать, что число $\frac{(nk)!}{(n!)^{k} \cdot k! }$ - целое.
Решение:
Представим указанное выражение в виде произведения $k$ скобок:
$\left \{ \frac{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n}{n! \cdot 1 } \right \} \cdot \left \{ \frac{(n + 1) \cdot \cdots \cdot (2n)}{n! \cdot 2 } \right \} \cdot \cdots \cdot \left \{ \frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n]}{n! (l + 1) } \right \} \cdot \cdots \cdot \left \{ \frac{[(k - 1)n + 1 ] \cdot \cdots \cdot (kn)}{n! \cdot k } \right \}$.
Осталось заметить, что каждая скобка представляет собой следующее целое число:
$\frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n] }{n!(l + 1) } = \frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n - 1] }{(n - 1)! } = C_{ln + n - 1}^{n - 1 }$.
Доказать, что число $\frac{(nk)!}{(n!)^{k} \cdot k! }$ - целое.
Решение:
Представим указанное выражение в виде произведения $k$ скобок:
$\left \{ \frac{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n}{n! \cdot 1 } \right \} \cdot \left \{ \frac{(n + 1) \cdot \cdots \cdot (2n)}{n! \cdot 2 } \right \} \cdot \cdots \cdot \left \{ \frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n]}{n! (l + 1) } \right \} \cdot \cdots \cdot \left \{ \frac{[(k - 1)n + 1 ] \cdot \cdots \cdot (kn)}{n! \cdot k } \right \}$.
Осталось заметить, что каждая скобка представляет собой следующее целое число:
$\frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n] }{n!(l + 1) } = \frac{(ln + 1) \cdot \cdots \cdot [(l + 1)n - 1] }{(n - 1)! } = C_{ln + n - 1}^{n - 1 }$.
