Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3074
2019-05-19 
Обозначим через $s$ сумму всех делителей числа $n$, а через $k$ - их число. Доказать, что при $n \geq 2$
$\frac{3}{4} n \geq \frac{s}{k} \geq \sqrt{n}$.
Решение:
Пусть $d_{1} < d_{2} < \cdots < d_{k}$ - делители числа $n$. Тогда $d_{1} = 1, d_{k} = n$. Оценим сумму всех делителей. Во-первых, $d_{1} + d_{k} = n + 1 \leq \frac{3}{2} n$, а каждый делитель, отличный от $n$, меньше, чем $\frac{3}{4} n$. Значит, $d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{k} \leq \frac{3}{2} + (k - 2) \frac{3}{4}n = \frac{3}{4} nk$.
Второе неравенство следует из очевидного соотношений $d_{i} \cdot d_{k-i+1} = n$, а по неравенству средних $\frac{1}{2} (d_{i} + d_{k - i + 1}) \geq \sqrt{d_{i} \cdot d_{k - i + 1} } = \sqrt{n}$. Сложив все такие соотношения, получим $d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{k} \geq k \sqrt{n}$.
Обозначим через $s$ сумму всех делителей числа $n$, а через $k$ - их число. Доказать, что при $n \geq 2$
$\frac{3}{4} n \geq \frac{s}{k} \geq \sqrt{n}$.
Решение:
Пусть $d_{1} < d_{2} < \cdots < d_{k}$ - делители числа $n$. Тогда $d_{1} = 1, d_{k} = n$. Оценим сумму всех делителей. Во-первых, $d_{1} + d_{k} = n + 1 \leq \frac{3}{2} n$, а каждый делитель, отличный от $n$, меньше, чем $\frac{3}{4} n$. Значит, $d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{k} \leq \frac{3}{2} + (k - 2) \frac{3}{4}n = \frac{3}{4} nk$.
Второе неравенство следует из очевидного соотношений $d_{i} \cdot d_{k-i+1} = n$, а по неравенству средних $\frac{1}{2} (d_{i} + d_{k - i + 1}) \geq \sqrt{d_{i} \cdot d_{k - i + 1} } = \sqrt{n}$. Сложив все такие соотношения, получим $d_{1} + d_{2} + \cdots + d_{k} \geq k \sqrt{n}$.
