Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3071
2019-05-19 
Для данного числа $n$ составляется число $n_{1}$, равное сумме кубов цифр числа $n$. Для числа $n_{1}$ таким же образом составляется число $n_{2}$ и т. д. Доказать, что, начиная с некоторого номера, числа в этой последовательности начнут периодически повторяться.
Решение:
Заметим, что если некоторое число в рассматриваемой последовательности меньше 10 000, то и сумма кубов его цифр (т. е. следующее за ним число) также меньше 10000 (более точно, оно меньше даже $4 \cdot 9^{3} = 2956$). Если лее это число больше 10 000, то сумма кубов его цифр меньше самого числа. Действительно, пусть $k$ - число знаков числа. Тогда само число больше, чем $10^{k - 1}$, а сумма его цифр не больше, чем $9^{3} k$. Но при $k \geq 5$ выполнено неравенство: $10^{k - 1} > 9^{3}k$.
Из приведенного замечания следует, что члены последовательности либо сразу, либо начиная с некоторого становятся и остаются меньшими 10 000. Но тогда среди них найдется по крайней мере два одинаковых числа, Обозначим их через $n_{m}$ и $n_{m + l}$. Отсюда следует, что равны $n_{m+1}$ и $n_{m + l + 1}, n_{m + 2}$ и $n_{m + l + 2}, \cdots, n_{m + i}$ и $n_{m + l + i}, \cdots$. То есть последовательность становится периодической. Мы доказали даже более сильное утверждение, что в<$ числа, входящие в период, меньше 10 000.
Для данного числа $n$ составляется число $n_{1}$, равное сумме кубов цифр числа $n$. Для числа $n_{1}$ таким же образом составляется число $n_{2}$ и т. д. Доказать, что, начиная с некоторого номера, числа в этой последовательности начнут периодически повторяться.
Решение:
Заметим, что если некоторое число в рассматриваемой последовательности меньше 10 000, то и сумма кубов его цифр (т. е. следующее за ним число) также меньше 10000 (более точно, оно меньше даже $4 \cdot 9^{3} = 2956$). Если лее это число больше 10 000, то сумма кубов его цифр меньше самого числа. Действительно, пусть $k$ - число знаков числа. Тогда само число больше, чем $10^{k - 1}$, а сумма его цифр не больше, чем $9^{3} k$. Но при $k \geq 5$ выполнено неравенство: $10^{k - 1} > 9^{3}k$.
Из приведенного замечания следует, что члены последовательности либо сразу, либо начиная с некоторого становятся и остаются меньшими 10 000. Но тогда среди них найдется по крайней мере два одинаковых числа, Обозначим их через $n_{m}$ и $n_{m + l}$. Отсюда следует, что равны $n_{m+1}$ и $n_{m + l + 1}, n_{m + 2}$ и $n_{m + l + 2}, \cdots, n_{m + i}$ и $n_{m + l + i}, \cdots$. То есть последовательность становится периодической. Мы доказали даже более сильное утверждение, что в<$ числа, входящие в период, меньше 10 000.
