Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3070
2019-05-19 
Доказать, что не существует арифметической прогрессии с разностью, меньшей 1968, в которой подряд располагалось бы одиннадцать различных простых чисел.
Решение:
Очевидно, разность прогрессии - четное число. Далее, если бы разность прогрессии не делилась на три, то любые три последовательные члена прогрессии давали бы разные остатки при делении на три, откуда вытекает, что один из них делился бы на три, что противоречит условиям задачи. Аналогично показывается, что разность прогрессии делится на пять и на семь, а также на одиннадцать, если прогрессия не начинается с одиннадцати. Но в таком случае знаменатель прогрессии не меньше, чем $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$, что больше, чем 1968, следовательно, если такая прогрессия существует, то она обязана начинаться с И, а ее разность кратна числу $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. То есть $d = 210k$, где $k$ меньше 10. Нетрудно проверить, что при $k = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9$ найдутся члены, которые делятся на 13. Их номера будут соответственно 1, 7, 9, 10, 8, 2, 5, 3. А при $k = 6$ четвертый член прогрессии делится на 17.
Утверждение задачи доказано. Отметим, что если не требовать положительности членов прогрессии, то существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Одна из них: -11, 199, 409, 619, 829, 1039, 1459, 1669, 1879, 2085. Вторая отличается от нее знаком.
Доказать, что не существует арифметической прогрессии с разностью, меньшей 1968, в которой подряд располагалось бы одиннадцать различных простых чисел.
Решение:
Очевидно, разность прогрессии - четное число. Далее, если бы разность прогрессии не делилась на три, то любые три последовательные члена прогрессии давали бы разные остатки при делении на три, откуда вытекает, что один из них делился бы на три, что противоречит условиям задачи. Аналогично показывается, что разность прогрессии делится на пять и на семь, а также на одиннадцать, если прогрессия не начинается с одиннадцати. Но в таком случае знаменатель прогрессии не меньше, чем $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$, что больше, чем 1968, следовательно, если такая прогрессия существует, то она обязана начинаться с И, а ее разность кратна числу $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. То есть $d = 210k$, где $k$ меньше 10. Нетрудно проверить, что при $k = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9$ найдутся члены, которые делятся на 13. Их номера будут соответственно 1, 7, 9, 10, 8, 2, 5, 3. А при $k = 6$ четвертый член прогрессии делится на 17.
Утверждение задачи доказано. Отметим, что если не требовать положительности членов прогрессии, то существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Одна из них: -11, 199, 409, 619, 829, 1039, 1459, 1669, 1879, 2085. Вторая отличается от нее знаком.
