Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3069
2019-05-19 
Доказать, что для любого натурального $k$ найдется $k$ составных чисел, попарно взаимно простых и образующих арифметическую прогрессию.
Решение:
Очевидно, если $1 < n \leq N$, то $N! + n$ - составное число. Пусть $p$ - простое число, большее $k$, а $N$ - натуральное, большее чем $p + (k - 1)k!$. Тогда числа $N! + p, N! + p + k!, \cdots N! + p + (k - 1) k!$ составные и образуют арифметическую прогрессию. Докажем, что любые два числа из этой последовательности взаимно просты. Пусть $q$ - простой делитель пары таких чисел, тогда $q$ делит 0 разность этих чисел, то есть для некоторого $j$ ($0 < j < k$) число $j \cdot k!$ делится на $q$. Поэтому $q \leq k$, значит, число $k!$ делится на $q$; тем более, $N!$ делится на $q$. Следовательно, $p$ делится на $q$, что противоречит простоте числа $p$.
Доказать, что для любого натурального $k$ найдется $k$ составных чисел, попарно взаимно простых и образующих арифметическую прогрессию.
Решение:
Очевидно, если $1 < n \leq N$, то $N! + n$ - составное число. Пусть $p$ - простое число, большее $k$, а $N$ - натуральное, большее чем $p + (k - 1)k!$. Тогда числа $N! + p, N! + p + k!, \cdots N! + p + (k - 1) k!$ составные и образуют арифметическую прогрессию. Докажем, что любые два числа из этой последовательности взаимно просты. Пусть $q$ - простой делитель пары таких чисел, тогда $q$ делит 0 разность этих чисел, то есть для некоторого $j$ ($0 < j < k$) число $j \cdot k!$ делится на $q$. Поэтому $q \leq k$, значит, число $k!$ делится на $q$; тем более, $N!$ делится на $q$. Следовательно, $p$ делится на $q$, что противоречит простоте числа $p$.
