Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3068
2019-05-19 
Найти наименьшее натуральное число $a$ такое, что выражение $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ делится на 1971 при любом нечетном $n$.
Решение:
$1971=27 \cdot 73$. Так как числа 27 и 73 взаимно просты, то делимость числа $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ на 1971 эквивалентна его делимости на 27 и на 73. Имеем: $50^{n} + a \cdot 23^{n} = 50^{n} + a(50 - 27)^{n}$. Отсюда, вследствие взаимной простоты чисел 50 и 27, вытекает, что $a + 1 =27l$.
Представив число $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ в виде $(73-23)^{n} + a \cdot 23^{n}$ и воспользовавшись нечетностью числа $n$, получаем аналогично: $a - 1 = 73k$. Следовательно, $73k + 1 = 27l - 1$. Поэтому $73k + 2$ делится на 9, а так как $73k = 72k + k$, то $k + 2$ делится на 9 и $k \geq 7$. Но при $k = 7$ число $l$ является целым ($l=19$).
Ответ: $a = 73 \cdot 7 + 1 = 512$.
Найти наименьшее натуральное число $a$ такое, что выражение $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ делится на 1971 при любом нечетном $n$.
Решение:
$1971=27 \cdot 73$. Так как числа 27 и 73 взаимно просты, то делимость числа $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ на 1971 эквивалентна его делимости на 27 и на 73. Имеем: $50^{n} + a \cdot 23^{n} = 50^{n} + a(50 - 27)^{n}$. Отсюда, вследствие взаимной простоты чисел 50 и 27, вытекает, что $a + 1 =27l$.
Представив число $50^{n} + a \cdot 23^{n}$ в виде $(73-23)^{n} + a \cdot 23^{n}$ и воспользовавшись нечетностью числа $n$, получаем аналогично: $a - 1 = 73k$. Следовательно, $73k + 1 = 27l - 1$. Поэтому $73k + 2$ делится на 9, а так как $73k = 72k + k$, то $k + 2$ делится на 9 и $k \geq 7$. Но при $k = 7$ число $l$ является целым ($l=19$).
Ответ: $a = 73 \cdot 7 + 1 = 512$.
