Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3066
2019-05-19 
Найти все тройки натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на третье.
Решение:
Пусть $a, b, c$ - тройка натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на третье. Будем считать для определенности, что $a \geq b \geq c$. Тогда $2a \geq b + c = ka$. Поэтому $k \leq 2$.
1 случай: $k = 2$. В этом случае $a = b = c$, и тройка чисел имеет вид: $(c, c, c)$.
2 случай: $k = 1$, тогда $b + c = a$. По условию $a + x = lb$, поэтому $(b + c) + c = lb, 2c = (l - 1)b$. Так как $b \geq c$, то $2b \geq 2c = (l - 1)b$. Отсюда либо $l - 1 = 2$, либо $l - 1 = 1$.
Пусть $l - 1 = 2$. Тогда $b = c, a = b + c = 2c$, и тройка чисел имеет вид: $(2c, c, c)$.
Пусть $l - 1 = 1$. Тогда $b = 2c, a = b + c = 3c$, и тройка чисел имеет вид: $(3c, 2c, c)$.
Найти все тройки натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на третье.
Решение:
Пусть $a, b, c$ - тройка натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на третье. Будем считать для определенности, что $a \geq b \geq c$. Тогда $2a \geq b + c = ka$. Поэтому $k \leq 2$.
1 случай: $k = 2$. В этом случае $a = b = c$, и тройка чисел имеет вид: $(c, c, c)$.
2 случай: $k = 1$, тогда $b + c = a$. По условию $a + x = lb$, поэтому $(b + c) + c = lb, 2c = (l - 1)b$. Так как $b \geq c$, то $2b \geq 2c = (l - 1)b$. Отсюда либо $l - 1 = 2$, либо $l - 1 = 1$.
Пусть $l - 1 = 2$. Тогда $b = c, a = b + c = 2c$, и тройка чисел имеет вид: $(2c, c, c)$.
Пусть $l - 1 = 1$. Тогда $b = 2c, a = b + c = 3c$, и тройка чисел имеет вид: $(3c, 2c, c)$.
