2014-06-07
Внутри тетраэдра ABCD расположена точка О так, что прямые АО, ВО, СО, DO пересекают грани BCD, ACD, ABD, ABC тетраэдра в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ соответственно, причем отношения
$\frac{AO}{A_{1}O}, \frac{BO}{B_{1}O}, \frac{CO}{C_{1}O}, \frac{DO}{D_{1}O}$
равны одному и тому же числу. Найти все значения, которые может принимать это число.
Решение:
Пусть V - объем тетраэдра ABCD, а k - искомое число. Тогда имеем
$\frac{V}{V_{OBCD}} = \frac{AA_{1}}{OA_{1}} = \frac{AO}{A_{1}O} + \frac{OA_{1}}{OA_{1}} = k+1$,
и аналогично
$\frac{V}{V_{OACD}} = \frac{V}{_{OABD}} = \frac{V}{V_{OABC}} = k+1$,
откуда
$k+1 = \frac{4V}{V_{OBCD} + V_{OACD} + V_{OABD} + V_{OABC}} = \frac{4V}{V} = 4$, т.е. $k = 3$.