Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3057
2019-05-06 
Пара (различных) натуральных чисел $m$ и $n$ называется «хорошей», если эти числа состоят из одинаковых простых делителей, взятых, однако, в (вообще говоря) несовпадающих степенях (пример: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5%2$), и «очень хорошей», если «хорошими»являются и пара $m$, $n$ и пара $m+1, n+1$ (пример: $6 = 2 \cdot 3$ и $48 = 24 \cdot 3$ - ведь $6+1 = 7$, а $48+1 = 49 = 7^2$). Конечно или бесконечно число «очень хороших» пар натуральных чисел?
Решение:
Ясно, что пара натуральных чисел $n$ и $n^2$ является «хорошей» при любом $n > 1$. С другой стороны, пара чисел $n-1$ и $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$ наверное будет «хорошей», если число $n + 1$ представляет собой целую степень двойки, т. е. $n + 1 = 2^k$, где $k \geq 1$ - целое число; в самом деле, в таком случае числа
$n - 1$ и $n^2 - 1 = 2^k (n - 1)$
отличаются лишь тем, что во второе из них простой делитель 2 входит в степени, на $k$ большей, чем в первое (число $n - 1$ содержит простой делитель 2, ибо при $n + 1 = 2^k$ т. е. при $n = 2^k - 1$, также и число $n - 1 = 2^k - 2$ является четным). Отсюда уже вытекает бесконечность числа «очень хороших» пар: ведь такими являются, например, все пары чисел
$n - 1 = 2^k - 2$ и $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) = 2^k (2^k - 2)$,
где $k = 1, 2, 3, \cdots$.
Пара (различных) натуральных чисел $m$ и $n$ называется «хорошей», если эти числа состоят из одинаковых простых делителей, взятых, однако, в (вообще говоря) несовпадающих степенях (пример: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5%2$), и «очень хорошей», если «хорошими»являются и пара $m$, $n$ и пара $m+1, n+1$ (пример: $6 = 2 \cdot 3$ и $48 = 24 \cdot 3$ - ведь $6+1 = 7$, а $48+1 = 49 = 7^2$). Конечно или бесконечно число «очень хороших» пар натуральных чисел?
Решение:
Ясно, что пара натуральных чисел $n$ и $n^2$ является «хорошей» при любом $n > 1$. С другой стороны, пара чисел $n-1$ и $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$ наверное будет «хорошей», если число $n + 1$ представляет собой целую степень двойки, т. е. $n + 1 = 2^k$, где $k \geq 1$ - целое число; в самом деле, в таком случае числа
$n - 1$ и $n^2 - 1 = 2^k (n - 1)$
отличаются лишь тем, что во второе из них простой делитель 2 входит в степени, на $k$ большей, чем в первое (число $n - 1$ содержит простой делитель 2, ибо при $n + 1 = 2^k$ т. е. при $n = 2^k - 1$, также и число $n - 1 = 2^k - 2$ является четным). Отсюда уже вытекает бесконечность числа «очень хороших» пар: ведь такими являются, например, все пары чисел
$n - 1 = 2^k - 2$ и $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) = 2^k (2^k - 2)$,
где $k = 1, 2, 3, \cdots$.
