Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3055
2019-05-06 
Выпишем подряд последовательные степени числа 2:
$2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, \cdots$.
Легко заметить, что в этом ряду чисел последние цифры периодически повторяются с периодом 4:
$2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots$.
Доказать, что и последние 10 цифр в этом ряду чисел, начиная с некоторого числа, также будут периодически повторяться. Найти длину периода и номер числа в ряду, начиная с которого наблюдается периодичность.
Решение:
По теореме Эйлера (см. задачу 3053) число $2^{5^{10} - 5^9} - 1 = 2^{4 \cdot 5^9} - 1 = 2^{7812500} - 1$ делится на $5^{10}$; следовательно, при $n \geq 10$ разность $2^{7812500 + n} - 2^n = 2^n (2^{7812500} - 1)$ делится на $10^{10}$, т. е. последние 10 цифр чисел $2^{7812500+n}$ и $2^n$ совпадают. Это означает, что последние 10 цифр чисел ряда $2^1, 2^2, 2^3, \cdots, 2^n, \cdots$ повторяются через каждые 7 812 500 чисел, причем эта периодичность начинается с десятого числа этого ряда - с числа $2^10$.
То, что период на самом деле не меньше чем 7 812 500, следует из результата задачи 3054.
Примечание. Аналогично доказывается, что последние $n$ цифр чисел рассматриваемого ряда повторяются через каждые $4 \cdot 5^{n - 1}$ чисел, начиная с $n$-го числа этого ряда (так, например, последние две цифры повторяются, начиная со второго числа, через каждые 20 чисел).
Выпишем подряд последовательные степени числа 2:
$2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, \cdots$.
Легко заметить, что в этом ряду чисел последние цифры периодически повторяются с периодом 4:
$2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, \cdots$.
Доказать, что и последние 10 цифр в этом ряду чисел, начиная с некоторого числа, также будут периодически повторяться. Найти длину периода и номер числа в ряду, начиная с которого наблюдается периодичность.
Решение:
По теореме Эйлера (см. задачу 3053) число $2^{5^{10} - 5^9} - 1 = 2^{4 \cdot 5^9} - 1 = 2^{7812500} - 1$ делится на $5^{10}$; следовательно, при $n \geq 10$ разность $2^{7812500 + n} - 2^n = 2^n (2^{7812500} - 1)$ делится на $10^{10}$, т. е. последние 10 цифр чисел $2^{7812500+n}$ и $2^n$ совпадают. Это означает, что последние 10 цифр чисел ряда $2^1, 2^2, 2^3, \cdots, 2^n, \cdots$ повторяются через каждые 7 812 500 чисел, причем эта периодичность начинается с десятого числа этого ряда - с числа $2^10$.
То, что период на самом деле не меньше чем 7 812 500, следует из результата задачи 3054.
Примечание. Аналогично доказывается, что последние $n$ цифр чисел рассматриваемого ряда повторяются через каждые $4 \cdot 5^{n - 1}$ чисел, начиная с $n$-го числа этого ряда (так, например, последние две цифры повторяются, начиная со второго числа, через каждые 20 чисел).
