Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3051
2019-05-06 
Пусть $c_1, c_2, \cdots, c_n, z$ - такие комплексные числа, что
$\frac{1}{z - c_1} + \frac{1}{z - c_2} + \cdots + \frac{1}{z - c_n} = 0$.
Доказать, что если числа $c_1, c_2, \cdots, c_n$ представляются на комплексной плоскости вершинами выпуклого $n$-угольника, то число $z$ представляется точкой, лежащей внутри этого $n$-угольника.
Решение:
Предположим, что отвечающая комплексному числу $z$ точка $A$ комплексной плоскости не принадлежит выпуклому, многоугольнику $C_1C_2 \cdots C_n$, вершины которого отвечают числам $c_1, c_2, \cdots, c_n$ рис. В этом случае все лучи $AC_1, AC_2, \cdots, AC_n$ «направлены в одну сторону» в том смысле, что все эти лучи лежат по одну сторону от некоторой прямой $l$, проходящей через $A$. Заметим теперь, что, в силу правила вычитания комплексных чисел, числам $z_1 = z - c_1, z_2 = z - c_2, \cdots, z_n = z - c_n$ отвечают на комплексной плоскости такие точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$, что векторы $\bar {OA_1}, \bar {OA_2}, \cdots, \bar {OA_n}$ равны векторам $\bar {C_1A}, \bar {C_2A}, \cdots, \bar {C_nA}$; поэтому все лучи $OA_1, OA_2, \cdots, OA_n$ лежат по одну сторону от проходящей через $О$ прямой $l^{ \prime} \parallel l$. С другой стороны, если $w^{ \prime} = \frac{1}{w}$, то при $w = r(\cos \theta + i \sin \theta$) имеем $w^{ \prime} = \frac{1}{r} [\cos (- \theta) + i \sin (- \theta)]$, т. e, числа $w$ и $w^{ \prime}$ изображаются такими точками $B$ к $B^{ \prime}$ комплексной плоскости, что лучи $OB$ и $OB^{ \prime}$ симметричны относительно оси $Ох$ вещественных чисел. Отсюда следует, что числам $z_1^{ \prime} = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{z - c_1}, z_2^{ \prime} = \frac{1}{z_2}, \cdots, z_n^{ \prime} = \frac{1}{z_n}$ отвечают такие точки $A_1^{ \prime}, A_2^{ \prime}, \cdots, A_n^{ \prime}$, что лучи $OA_1^{ \prime}, OA_2^{ \prime}, \cdots, ОA_n^{ \prime}$) симметричны лучам $OA_1, OA_2, \cdots, OA_n$ относительно оси $Ох$, откуда следует, что все эти лучи лежат по одну сторону от прямой $l^{ \prime \prime}$, симметричной $l^{ \prime}$ - относительно оси $Оx$ (см. тот же рис.).
Дальнейшая часть доказательства близка к решению задачи 3050. Если $z_0 = \cos \theta_0 + i \sin \theta_0$ - комплексное число модуля 1, изображаемое точкой прямой $l^{ \prime \prime}$, то числа $z_1^{ \prime \prime} = \frac{z_1^{ \prime}}{z_0}, z_2^{ \prime \prime} = \frac{z_2^{ \prime}}{z_0}, \cdots, z_n^{ \prime \prime} = \frac{z_n^{ \prime}}{z_0}$, изображаются точками $A_1^{ \prime \prime}, A_2^{ \prime \prime}, \cdots, A_n^{ \prime \prime}$, получаемыми из точек $A_1^{ \prime}, A_2^{ \prime}, \cdots, A_n^{ \prime}$ поворотом вокруг $О$ на угол $\theta_0$; поэтому все они лежат по одну сторону от оси $Ох$, получаемой тем же поворотом из прямой $l^{ \prime \prime}$. Но отсюда следует, что коэффициенты $b_1^{ \prime \prime}, b_2^{ \prime \prime} \cdots, b_n^{ \prime \prime}$ при мнимых частях чисел $z_1^{ \prime \prime} = a_1^{ \prime \prime} + i b_1^{ \prime \prime}, z_2^{ \prime \prime} = a_2^{ \prime \prime} + i b_2^{ \prime \prime}, \cdots, z_n^{ \prime \prime} = a_n^{ \prime \prime} + i b_n^{ \prime \prime}$ все одного знака - и, значит,
$z_1^{ \prime \prime} + z_2^{ \prime \prime} + \cdots + z_n^{ \prime \prime} = (a_1^{ \prime \prime} + a_2^{ \prime \prime} + \cdots + a_n^{ \prime \prime}) + i (b_1^{ \prime \prime} + b_2^{ \prime \prime} + \cdots + b_n^{ \prime \prime}) \neq 0$,
ибо $b_1^{ \prime \prime} + b_2^{ \prime \prime} + \cdots + b_n^{ \prime \prime} \neq 0$. А из того, что
$z_{1}^{ \prime \prime} + z_{2}^{ \prime \prime} + \cdots z_{n}^{ \prime \prime} = \frac{z_{1}^{ \prime} }{z_{0} } + \frac{z_{2}^{ \prime} }{z_{0} } + \cdots + \frac{z_{n}^{ \prime} }{z_{0} } = (z_{1}^{ \prime} + z_{2}^{ \prime} + \cdots + z_{n}^{ \prime } ) \frac{1}{z_{0} } \neq 0$,
вытекает, что также и
$z_1^{ \prime} + z_2^{ \prime} + \cdots + z_n^{ \prime} = \frac{1}{z - c_1} + \frac{1}{z - c_2} + \cdots + \frac{1}{z - c_n} \neq 0$.
Пусть $c_1, c_2, \cdots, c_n, z$ - такие комплексные числа, что
$\frac{1}{z - c_1} + \frac{1}{z - c_2} + \cdots + \frac{1}{z - c_n} = 0$.
Доказать, что если числа $c_1, c_2, \cdots, c_n$ представляются на комплексной плоскости вершинами выпуклого $n$-угольника, то число $z$ представляется точкой, лежащей внутри этого $n$-угольника.
Решение:
Предположим, что отвечающая комплексному числу $z$ точка $A$ комплексной плоскости не принадлежит выпуклому, многоугольнику $C_1C_2 \cdots C_n$, вершины которого отвечают числам $c_1, c_2, \cdots, c_n$ рис. В этом случае все лучи $AC_1, AC_2, \cdots, AC_n$ «направлены в одну сторону» в том смысле, что все эти лучи лежат по одну сторону от некоторой прямой $l$, проходящей через $A$. Заметим теперь, что, в силу правила вычитания комплексных чисел, числам $z_1 = z - c_1, z_2 = z - c_2, \cdots, z_n = z - c_n$ отвечают на комплексной плоскости такие точки $A_1, A_2, \cdots, A_n$, что векторы $\bar {OA_1}, \bar {OA_2}, \cdots, \bar {OA_n}$ равны векторам $\bar {C_1A}, \bar {C_2A}, \cdots, \bar {C_nA}$; поэтому все лучи $OA_1, OA_2, \cdots, OA_n$ лежат по одну сторону от проходящей через $О$ прямой $l^{ \prime} \parallel l$. С другой стороны, если $w^{ \prime} = \frac{1}{w}$, то при $w = r(\cos \theta + i \sin \theta$) имеем $w^{ \prime} = \frac{1}{r} [\cos (- \theta) + i \sin (- \theta)]$, т. e, числа $w$ и $w^{ \prime}$ изображаются такими точками $B$ к $B^{ \prime}$ комплексной плоскости, что лучи $OB$ и $OB^{ \prime}$ симметричны относительно оси $Ох$ вещественных чисел. Отсюда следует, что числам $z_1^{ \prime} = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{z - c_1}, z_2^{ \prime} = \frac{1}{z_2}, \cdots, z_n^{ \prime} = \frac{1}{z_n}$ отвечают такие точки $A_1^{ \prime}, A_2^{ \prime}, \cdots, A_n^{ \prime}$, что лучи $OA_1^{ \prime}, OA_2^{ \prime}, \cdots, ОA_n^{ \prime}$) симметричны лучам $OA_1, OA_2, \cdots, OA_n$ относительно оси $Ох$, откуда следует, что все эти лучи лежат по одну сторону от прямой $l^{ \prime \prime}$, симметричной $l^{ \prime}$ - относительно оси $Оx$ (см. тот же рис.).
Дальнейшая часть доказательства близка к решению задачи 3050. Если $z_0 = \cos \theta_0 + i \sin \theta_0$ - комплексное число модуля 1, изображаемое точкой прямой $l^{ \prime \prime}$, то числа $z_1^{ \prime \prime} = \frac{z_1^{ \prime}}{z_0}, z_2^{ \prime \prime} = \frac{z_2^{ \prime}}{z_0}, \cdots, z_n^{ \prime \prime} = \frac{z_n^{ \prime}}{z_0}$, изображаются точками $A_1^{ \prime \prime}, A_2^{ \prime \prime}, \cdots, A_n^{ \prime \prime}$, получаемыми из точек $A_1^{ \prime}, A_2^{ \prime}, \cdots, A_n^{ \prime}$ поворотом вокруг $О$ на угол $\theta_0$; поэтому все они лежат по одну сторону от оси $Ох$, получаемой тем же поворотом из прямой $l^{ \prime \prime}$. Но отсюда следует, что коэффициенты $b_1^{ \prime \prime}, b_2^{ \prime \prime} \cdots, b_n^{ \prime \prime}$ при мнимых частях чисел $z_1^{ \prime \prime} = a_1^{ \prime \prime} + i b_1^{ \prime \prime}, z_2^{ \prime \prime} = a_2^{ \prime \prime} + i b_2^{ \prime \prime}, \cdots, z_n^{ \prime \prime} = a_n^{ \prime \prime} + i b_n^{ \prime \prime}$ все одного знака - и, значит,
$z_1^{ \prime \prime} + z_2^{ \prime \prime} + \cdots + z_n^{ \prime \prime} = (a_1^{ \prime \prime} + a_2^{ \prime \prime} + \cdots + a_n^{ \prime \prime}) + i (b_1^{ \prime \prime} + b_2^{ \prime \prime} + \cdots + b_n^{ \prime \prime}) \neq 0$,
ибо $b_1^{ \prime \prime} + b_2^{ \prime \prime} + \cdots + b_n^{ \prime \prime} \neq 0$. А из того, что
$z_{1}^{ \prime \prime} + z_{2}^{ \prime \prime} + \cdots z_{n}^{ \prime \prime} = \frac{z_{1}^{ \prime} }{z_{0} } + \frac{z_{2}^{ \prime} }{z_{0} } + \cdots + \frac{z_{n}^{ \prime} }{z_{0} } = (z_{1}^{ \prime} + z_{2}^{ \prime} + \cdots + z_{n}^{ \prime } ) \frac{1}{z_{0} } \neq 0$,
вытекает, что также и
$z_1^{ \prime} + z_2^{ \prime} + \cdots + z_n^{ \prime} = \frac{1}{z - c_1} + \frac{1}{z - c_2} + \cdots + \frac{1}{z - c_n} \neq 0$.
