2014-06-07
Тетраэдры $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ расположены так, что прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ и $DD^{\prime}$ параллельны, грани $ABC$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ не имеют общих точек, а вершины $D$ и $D^{\prime}$ лежат в плоскостях $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$ соответственно. Доказать, что объемы этих тетраэдров одинаковы.
Решение:
При любой расположении точки D в плоскости треугольника $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ хотя бы одна сторона этого треугольника пересекается с прямой, проходящей через противоположную си вершину и точку D. Пусть для определенности О - точка пересечения стороны $A^{\prime}B^{\prime}$ с прямой $C^{\prime}D$, а прямая, проходящая через точку О параллельно прямой $DD^{\prime}$, пересекает плоскость ABC в точке $O^{\prime}$ (рис.). Тогда из параллельности прямых $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}, DD^{\prime}, OO^{\prime}$ вытекает, что отрезок АВ пересекает в точке $O^{\prime}$ прямую $CD^{\prime}$. Обозначим через $\phi$ угол между прямой $OO^{\prime}$ и плоскостью АВС. Тогда имеем
$V_{ABCD} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DD^{\prime} \cdot \sin \phi = \frac{DD^{\prime}}{OO^{\prime}} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot OO^{\prime} \sin \phi = \frac{DD^{\prime}}{OO^{\prime}} V_{ABCO}$
и аналогично
$V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \frac{DD^{\prime}}{OO^{\prime}} V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}O^{\prime}}$,
Далее, пусть a - расстояние между прямыми $AA^{\prime}$ и $BB^{\prime}$, тогда
$S_{ABO} = \frac{1}{2} AB \cdot OO^{\prime} \cdot \sin \angle OO^{\prime}B = \frac{1}{2} a \cdot OO^{\prime}$
и аналогично
$S_{A^{\prime}B^{\prime}O^{\prime}} = \frac{1}{2} a \cdot OO^{\prime}$
Обозначив через b расстояние между плоскостью $ABB^{\prime}$ и прямой $CC^{\prime}$,
получаем
$V_{ABCO} = \frac{1}{3} S_{ABO} \cdot b = \frac{1}{3} S_{A^{\prime}B^{\prime}O^{\prime}} \cdot b = V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}O^{\prime}}$,
откуда
$V_{ABCD} = \frac{DD^{\prime}}{OO^{\prime}} V_{ABCO} = \frac{DD^{\prime}}{OO^{\prime}} V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}O^{\prime}} = V_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}$,
что и требовалось доказать.