Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3049
2019-05-06 
Известно, что $ \overline{ \left | z + \frac{1}{z} \right |} = a$: какое наибольшее и какое наименьшее значения может иметь модуль $|z|$ комплексного числа $z$?
Решение:
Так как $|z| = |\bar{z}| = |-z| = |\bar{-z}|$ и $\left |z + \frac{1}{z} \right | = \left | \bar{z} + \frac{ 1}{ \bar{z}} \right | = \left | -z - \frac{1}{z} \right | = \left | - \bar{z} - \frac{1}{ \bar{z}} \right |$, то достаточно рассмотреть лишь то из чисел $z, \bar{z}, - z$ и $\bar{- z}$, которое лежит в первой четверти. Если |z| достигает наибольшего возможного значения, то $\left | \frac{1}{z} \right | = \frac{1}{|z|}$ - наименьшего. Поэтому достаточно найти те $z$, модуль которых является наибольшим возможным; при этом $|z| \geq \left | \frac{1}{z} \right |$. Пусть аргумент $\phi$ числа $z$ нам задан; $0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}$. Тогда из рис. имеем (напомним, что $\left | z + \frac{1}{z} \right | = a$ ниже обозначено $|z| = r$):
$a^2 = r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 \cos 2 \phi = r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 + 4 \cos^2 \phi = \left ( r - \frac{1}{r} \right )^2 + 4 \cos^2 \phi$.
Так как, согласно нашему предположению, $r \geq \frac{1}{r}$, то с ростом $r$ и разность $r - \frac{1}{r}$, и наоборот. Но $\left (r - \frac{1}{r} \right )^2 = a^2 - 4 \cos^2 \phi \leq a^2$; при $\phi = \frac{ \pi}{2}$ имеем $\left ( r - \frac{1}{r} \right )^2 = a^2$. При этом $r - \frac{1}{r} = a, r = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$.
Соответственно этому наибольшее значение $|z| = \frac{1}{2} (a + \sqrt{a^2 + 4})$ достигается при $z = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$, a наименьшее $|z| = \frac{1}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$ - при $ = - \frac{i}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$.
Ответ: Наибольшее значение: $|z| = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$ наименьшее $|z| = \frac{1}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$.
Известно, что $ \overline{ \left | z + \frac{1}{z} \right |} = a$: какое наибольшее и какое наименьшее значения может иметь модуль $|z|$ комплексного числа $z$?
Решение:
Так как $|z| = |\bar{z}| = |-z| = |\bar{-z}|$ и $\left |z + \frac{1}{z} \right | = \left | \bar{z} + \frac{ 1}{ \bar{z}} \right | = \left | -z - \frac{1}{z} \right | = \left | - \bar{z} - \frac{1}{ \bar{z}} \right |$, то достаточно рассмотреть лишь то из чисел $z, \bar{z}, - z$ и $\bar{- z}$, которое лежит в первой четверти. Если |z| достигает наибольшего возможного значения, то $\left | \frac{1}{z} \right | = \frac{1}{|z|}$ - наименьшего. Поэтому достаточно найти те $z$, модуль которых является наибольшим возможным; при этом $|z| \geq \left | \frac{1}{z} \right |$. Пусть аргумент $\phi$ числа $z$ нам задан; $0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}$. Тогда из рис. имеем (напомним, что $\left | z + \frac{1}{z} \right | = a$ ниже обозначено $|z| = r$):
$a^2 = r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 \cos 2 \phi = r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 + 4 \cos^2 \phi = \left ( r - \frac{1}{r} \right )^2 + 4 \cos^2 \phi$.
Так как, согласно нашему предположению, $r \geq \frac{1}{r}$, то с ростом $r$ и разность $r - \frac{1}{r}$, и наоборот. Но $\left (r - \frac{1}{r} \right )^2 = a^2 - 4 \cos^2 \phi \leq a^2$; при $\phi = \frac{ \pi}{2}$ имеем $\left ( r - \frac{1}{r} \right )^2 = a^2$. При этом $r - \frac{1}{r} = a, r = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$.
Соответственно этому наибольшее значение $|z| = \frac{1}{2} (a + \sqrt{a^2 + 4})$ достигается при $z = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$, a наименьшее $|z| = \frac{1}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$ - при $ = - \frac{i}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$.
Ответ: Наибольшее значение: $|z| = \frac{1}{2} (a + \sqrt {a^2 + 4})$ наименьшее $|z| = \frac{1}{2} (\sqrt {a^2 + 4} - a)$.
