ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Найти сумму 50-х степеней всех сторон и всех диагоналей правильного 100-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$.


Решение:


Вычислим сумму 50-х степеней всех сторон и всех диагоналей 100-угольника, выходящих из одной вершины $A_1$. Задача сводится к нахождению суммы

$\sum = \left ( 2R \sin \frac{ \pi}{100} \right )^{50} + \left ( 2R \sin \frac{ 2 \pi}{100} \right )^{50} + \cdots + \left ( 2R \sin \frac{99 \pi}{100} \right )^{50}$

(сравните с решением задачи 3045 (а)). Таким образом, нам надо суммировать 50-е степени синусов некоторых углов. Но

$\sin^{50} \alpha = \left ( \frac {(\cos \alpha + i \sin \alpha) - (\cos \alpha - i \sin \alpha)}{2i} \right )^{50} = \frac { \left (x - \frac{1}{x} \right )^{50}}{-2^{50}} = - \frac{1}{2^{50}} \left ( x - \frac{1}{x} \right )^{50}$,

где обозначено $\cos \alpha + i \sin \alpha = x$; в таком случае $\cos \alpha - i \sin \alpha = \frac{1}{x}$. Следовательно,

$\sin^{50} \alpha = \frac {-1}{2^{50}} \left (x^{50} - C_{50}^1 x^{49} \frac{1}{x} + C_{50}^2 x^{48} \frac{1}{x^2} + \cdots + C_{50}^{24} x^{26} \frac{1}{x^{24}} - C_{50}^{25} x^{25} \frac{1}{x^{25}} + C_{50}^{26} x^24 \frac{1}{x^26} + \cdots + C_{50}^{48} x^2 \frac{1}{x^{48}} - C_{50}^{49} x \frac{1}{x^{49}} + \frac{1}{x^{50}} \right ) = - \frac{1}{2^{50}} \left [ \left (x^{50} + \frac{1}{x^{50}} \right ) - C_{50}^1 \left ( x^{48} + \frac{1}{x^48} \right ) + C_{50}^2 \left ( x^{46} + \frac{1}{x^{46}} \right ) - \cdots + C_{50}^{24} \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right ) - C_{50}^{25} \right ] = - \frac{1}{2^{50}} (2 \cos 50 \alpha - 2 C_{50}^1 \cos 48 \alpha + 2 C_{50}^2 \cos 46 \alpha - \cdots + 2 C_{50}^{24} \cos 2 \alpha + C_{50}^{25} )$

[здесь использовано то, что $х^k + \frac{1}{x^k} = (\cos k \alpha + i \sin k \alpha) + (\cos k \alpha - i \sin k \alpha) = 2 \cos k \alpha$].
Итак, сумма $\sum$ может быть переписана следующим образом:

$\sum = -R^{50} \left [ 2 \left ( \cos 50 \frac{\pi}{100} + \cos 50 \frac{2 \pi}{100} + \cdots + \cos 50 \frac{99 \pi}{100} \right ) - 2 C_{50}^1 \left ( \cos 48 \frac{\pi}{100} + \cos 48 \frac{2 \pi}{100} + \cdots + \cos 48 \frac{99 \pi}{100} \right ) + 2C_{50}^2 \left (\cos 46 \frac{ \pi}{100} + \cos 46 \frac{ 2 \pi}{100} + \cdots + \cos 46 \frac{ 99 \pi}{100} \right ) - \cdots + 2C_{50}^{24} \left ( \cos 2 \frac{\pi}{100} + \cos 2 \frac{ 2 \pi}{100} + \cdots + \cos 2 \frac{99 \pi}{100} \right ) - 99 C_{50}^{25} \right ] = - R^{50} [2s_1 - 2C_{50}^1 s_2 + 2 C_{50}^2 s_3 - \cdots + 2C_{50}^{24}s_{25} - 99C_{50}^{25}]$,

где через $s_1, s_2, \cdots, s_25$ обозначены суммы, стоящие в круглых скобках. Но из формулы задачи 3036 сразу следует, что $s_1 = s_2 = \cdots = s_{25} = -1$. Следовательно, имеем:

$\sum = R^{50} (2 - 2C_{53}^1 + 2C_{50}^2 - \cdots + 2C_{50}^{24} + 99C_{50}^{25}) = R^{50} (1 - C_{50}^1 + C_{50}^2 - C_{50}^3 + \cdots + C_{50}^{24} - C_{50}^{25} + C_{50}^{26} - \cdots + C_{50}^{48} - C_{50}^{49} + 1 + 100 C_{50}^{25}) = R^{50} [(1-1)^{500} + 100 C_{50}^{25}] = 100C_{50}^{25} R^{50}$.

Отсюда сразу получаем, что сумма 50-х степеней всех сторон и всех диагоналей 100-угольника равна

$\frac{ 100 \sum}{2} = 5000 C_{50}^{25} R^{50} = \frac {5000 \cdot 50!}{(25!)^2} R^{50}$.