Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3047
2019-05-06 
Радиус окружности, описанной около правильного $n$-угольника $A_1A_2 \cdots A_n$ равен $R$. Доказать, что:
а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равна $n^2R^2$;
б) сумма всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равна $n ctg \frac{ \pi}{2n} R$;
в) произведение всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равно $n^{ \frac{n}{2} } R^{\frac {n(n-1)}{2}}$.
Решение:
а) В силу задачи 3045 а) сумма квадратов расстояний от точки окружности, описанной около правильного $n$-угольника, до всех его вершин равна $2nR^2$. Предполагая, что $M$ совпадает с $A_1$, получаем, что сумма всех сторон и диагоналей $n$-угольника, выходящих из одной вершины, равна $2nR^2$. Если умножить эту сумму на $n$ (число вершин $n$-угольника), то мы получим удвоенную сумму всех сторон и диагоналей $n$-угольника (так как каждая сторона или диагональ имеет два конца, то она будет фигурировать в такой сумме
дважды). Отсюда искомая сумма равна $\frac{n}{2} \cdot 2nR^2 = n^2R^2$.
б) Сумма всех сторон и диагоналей правильного многоугольника, выходящих из одной вершины $A_1$, равна
$2R \left [ \sin \frac{ \pi}{n} + \sin \frac{ 2 \pi}{n} + \cdots + \sin \frac{(n-1) \pi}{n} \right ] = 2R \frac {\sin \frac{\pi}{2} \sin \frac {(n-1) \pi}{2n} }{ \sin \frac{\pi}{2n}} = 2R ctg \frac{\pi}{2n}$
(ср. задачу 3046 б)). Умножая эту сумму на $n$ и деля пополам, получаем требуемый результат: $R_n ctg \frac{\pi}{2n}$.
в) Произведение всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника, выходящих из одной вершины, очевидно, равно
$2^{n-t}R^{n - 1} \sin \frac{ \pi}{n} \sin \frac{ 2 \pi}{n} \cdots \sin \frac{ (n-1) \pi}{n} = 2^{n-1} R^{n-1} \frac {n}{2^{n-1}}$
Возводя это произведение в $n$-ю степень и извлекая затем квадратный корень, получаем требуемый результат.
Радиус окружности, описанной около правильного $n$-угольника $A_1A_2 \cdots A_n$ равен $R$. Доказать, что:
а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равна $n^2R^2$;
б) сумма всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равна $n ctg \frac{ \pi}{2n} R$;
в) произведение всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника равно $n^{ \frac{n}{2} } R^{\frac {n(n-1)}{2}}$.
Решение:
а) В силу задачи 3045 а) сумма квадратов расстояний от точки окружности, описанной около правильного $n$-угольника, до всех его вершин равна $2nR^2$. Предполагая, что $M$ совпадает с $A_1$, получаем, что сумма всех сторон и диагоналей $n$-угольника, выходящих из одной вершины, равна $2nR^2$. Если умножить эту сумму на $n$ (число вершин $n$-угольника), то мы получим удвоенную сумму всех сторон и диагоналей $n$-угольника (так как каждая сторона или диагональ имеет два конца, то она будет фигурировать в такой сумме
дважды). Отсюда искомая сумма равна $\frac{n}{2} \cdot 2nR^2 = n^2R^2$.
б) Сумма всех сторон и диагоналей правильного многоугольника, выходящих из одной вершины $A_1$, равна
$2R \left [ \sin \frac{ \pi}{n} + \sin \frac{ 2 \pi}{n} + \cdots + \sin \frac{(n-1) \pi}{n} \right ] = 2R \frac {\sin \frac{\pi}{2} \sin \frac {(n-1) \pi}{2n} }{ \sin \frac{\pi}{2n}} = 2R ctg \frac{\pi}{2n}$
(ср. задачу 3046 б)). Умножая эту сумму на $n$ и деля пополам, получаем требуемый результат: $R_n ctg \frac{\pi}{2n}$.
в) Произведение всех сторон и всех диагоналей $n$-угольника, выходящих из одной вершины, очевидно, равно
$2^{n-t}R^{n - 1} \sin \frac{ \pi}{n} \sin \frac{ 2 \pi}{n} \cdots \sin \frac{ (n-1) \pi}{n} = 2^{n-1} R^{n-1} \frac {n}{2^{n-1}}$
Возводя это произведение в $n$-ю степень и извлекая затем квадратный корень, получаем требуемый результат.
