Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3046
2019-05-06 
На дуге $A_1A_n$ окружности, описанной около правильного $n$-угольника $A_1A_2 \cdots A_n$, взята точка $M$. Доказать, что:
а) если $n$ четно, то сумма квадратов расстояний от точки $M$ до вершин $n$-угольника с четными номерами равна сумме квадратов расстояний от этой же точки до нечетных вершин;
б) если $n$ нечетно, то сумма расстояний от точки $M$ до вершин $n$-угольника с четными номерами равна сумме расстояний от этой же точки до нечетных вершин.
Решение:
а) Утверждение задачи сразу следует из теоремы задачи 3045 а), если учесть, что при $n$ четном четные (и нечетные) вершины $n$-угольника сами служат вершинами вписанных в окружность правильных $\frac{n}{2}$-угольников.
б) Пусть $n = 2m + 1$. Из решения задачи 3045 а) выводим, что достаточно доказать равенство между собой следующих сумм:
$S_1 = \sin \frac{ \alpha}{2} + \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{2 \pi}{2m+1} \right ) + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{4 \pi}{2m+1} \right ) + \cdots + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ 2m \pi}{2m+1} \right )$,
$S_2 = \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{ \pi}{2m+1} \right ) + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{3 \pi}{2m+1} \right ) + \cdots + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ (2m-1) \pi}{2m+1} \right )$.
Но, согласно задаче 3036, имеем:
$S_1 = \frac { \sin \frac {(m+1) \pi}{2m+1} \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{m \pi}{2m+1} \right ) }{\sin \frac{ \pi}{2m+1}}$,
$S_2 = \frac { \sin \frac {m \pi}{2m+1} \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{\pi}{2m+1} + \frac {(m-1) \pi}{2m+1} \right ) }{ \sin \frac{\pi}{2m+1}} = S_1$,
что и доказывает теорему.
На дуге $A_1A_n$ окружности, описанной около правильного $n$-угольника $A_1A_2 \cdots A_n$, взята точка $M$. Доказать, что:
а) если $n$ четно, то сумма квадратов расстояний от точки $M$ до вершин $n$-угольника с четными номерами равна сумме квадратов расстояний от этой же точки до нечетных вершин;
б) если $n$ нечетно, то сумма расстояний от точки $M$ до вершин $n$-угольника с четными номерами равна сумме расстояний от этой же точки до нечетных вершин.
Решение:
а) Утверждение задачи сразу следует из теоремы задачи 3045 а), если учесть, что при $n$ четном четные (и нечетные) вершины $n$-угольника сами служат вершинами вписанных в окружность правильных $\frac{n}{2}$-угольников.
б) Пусть $n = 2m + 1$. Из решения задачи 3045 а) выводим, что достаточно доказать равенство между собой следующих сумм:
$S_1 = \sin \frac{ \alpha}{2} + \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{2 \pi}{2m+1} \right ) + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{4 \pi}{2m+1} \right ) + \cdots + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ 2m \pi}{2m+1} \right )$,
$S_2 = \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{ \pi}{2m+1} \right ) + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{3 \pi}{2m+1} \right ) + \cdots + \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{ (2m-1) \pi}{2m+1} \right )$.
Но, согласно задаче 3036, имеем:
$S_1 = \frac { \sin \frac {(m+1) \pi}{2m+1} \sin \left ( \frac{\alpha}{2} + \frac{m \pi}{2m+1} \right ) }{\sin \frac{ \pi}{2m+1}}$,
$S_2 = \frac { \sin \frac {m \pi}{2m+1} \sin \left ( \frac{ \alpha}{2} + \frac{\pi}{2m+1} + \frac {(m-1) \pi}{2m+1} \right ) }{ \sin \frac{\pi}{2m+1}} = S_1$,
что и доказывает теорему.
