Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3042
2019-05-06 
Упростить суммы:
a) $ctg^2 \frac {\pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots + ctg^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$;
6) $cosec^2 \frac {\pi}{2n + 1}, cosec^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, cosec^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots + cosec^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$.
Решение:
а) Сумма корней уравнения $n$-й степени
$x^n - \frac {C_{2n+1}^3}{C_{2n+1}^1} x^{n-1} + \frac {C_{2n+1}^5}{C_{2n+1}^1} x^{n-2} - \cdots = 0$
(см. решение задачи 2941 6)) равна коэффициенту при $x^{n-1}$, взятому с обратным знаком, т. е.
$ctg^2 \frac{\pi}{2n+1} + ctg^2 \frac{2 \pi}{2n+1} + ctg^2 {3\pi}{2n+1} + \cdots + ctg^2 \frac{n \pi}{2n+1} = \frac {C_{2n+1}^3}{C_{2n+1}^1} = \frac {n(2n-1)}{3}$.
б) Так как $cosec^2 \alpha = ctg^2 \alpha + 1$, то из формулы задачи а) следует
$cosec^2 \frac{\pi}{2n+1} + cosec^2 \frac{2\pi}{2n+1} + cosec^2 \frac{3 \pi}{2n+1} + \cdots + cosec^2 \frac{n \pi}{2n+1} = \frac {n(2n-1)}{3} + n = \frac {n(n+1)}{3}$
Ответ: а) $\frac {n(2n-1)}{3}$. 6) $\frac {2n(n+1)}{3}$.
Упростить суммы:
a) $ctg^2 \frac {\pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots + ctg^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$;
6) $cosec^2 \frac {\pi}{2n + 1}, cosec^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, cosec^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots + cosec^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$.
Решение:
а) Сумма корней уравнения $n$-й степени
$x^n - \frac {C_{2n+1}^3}{C_{2n+1}^1} x^{n-1} + \frac {C_{2n+1}^5}{C_{2n+1}^1} x^{n-2} - \cdots = 0$
(см. решение задачи 2941 6)) равна коэффициенту при $x^{n-1}$, взятому с обратным знаком, т. е.
$ctg^2 \frac{\pi}{2n+1} + ctg^2 \frac{2 \pi}{2n+1} + ctg^2 {3\pi}{2n+1} + \cdots + ctg^2 \frac{n \pi}{2n+1} = \frac {C_{2n+1}^3}{C_{2n+1}^1} = \frac {n(2n-1)}{3}$.
б) Так как $cosec^2 \alpha = ctg^2 \alpha + 1$, то из формулы задачи а) следует
$cosec^2 \frac{\pi}{2n+1} + cosec^2 \frac{2\pi}{2n+1} + cosec^2 \frac{3 \pi}{2n+1} + \cdots + cosec^2 \frac{n \pi}{2n+1} = \frac {n(2n-1)}{3} + n = \frac {n(n+1)}{3}$
Ответ: а) $\frac {n(2n-1)}{3}$. 6) $\frac {2n(n+1)}{3}$.
