Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3041
2019-05-06 
Составить уравнение, корнями которого являлись бы числа:
a) $\sin^2 \frac {\pi}{2n + 1}, \sin^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, \sin^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots, \sin^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$;
б) $ctg^2 \frac {\pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots, ctg^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$.
Решение:
а) В силу результата задачи 3216) имеем:
$sin (2n + 1) \alpha = C_{2n+1}^1 (1 - \sin^2 \alpha)^n \sin \alpha - C_{2n+1}^3 (1 - \sin^2 \alpha)^{n-1} \sin^3 \alpha + \cdots + (-1)^n \sin^{2n+1} \alpha$
Отсюда вытекает, что числа $0, \sin \frac{\pi}{2n+1}, \sin \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin \frac{n \pi}{2n+1}, \sin \left ( - \frac{\pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{\pi}{2n+1}, \sin \left ( - \frac{2 \pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin \left ( - \frac{n \pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{n \pi}{2n+1}$
являются корнями такого уравнения $(2n + 1)$-й степени:
$C_{2n+1}^1 (1 - x^2)^n x - C_{2n+1}^3 (1 - x^2)^{n-1} x^3 + \cdots + (-1)^n x^{2n+1} = 0$.
Следовательно, числа $\sin^2 \frac{\pi}{2n+1}, \sin^2 \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin^2 \frac{n \pi}{2n+1}$ являются корнями уравнения $n$-степени:
$C_{2n+1}^1 (1-x)^n - C_{2n+1}^3 (1- x)^{n-1} x + \cdots + (-1)^n x^n = 0$.
б) Заменим в формуле задачи 3033 б) $n$ на $2n + 1$ и запишем ее в следующем виде:
$\sin (2n+1) \alpha = \sin^{2n+1} \alpha (C_{2n+1}^1 ctg^2n \alpha - C_{2n+1}^3 ctg^{2n-2} \alpha + C_{2n+1}^5 ctg^{2n-4} \alpha - \cdots)$.
Отсюда следует, что при $\alpha = \frac{ \pi}{2n+1}, \frac{2 \pi}{2n+1}, \frac{3 \pi}{2n+1}, \cdots, \frac{ n \pi}{2n+1}$ имеет место равенство
$C_{2n+1}^1 ctg^{2n} \alpha - C_{2n+1}^3 ctg^{2n-2} \alpha + C_{2n+1}^5 ctg^{2n-4} \alpha - \cdots = 0$
т. е. что числа $ctg \frac{ \pi}{2n+1} ctg^2 {2 \pi}{2n+1}, \cdots, ctg^2 \frac{n \pi}{2n+1}$ являются корнями следующего уравнения $n$-й степени:
$C_{2n+1}^1 x^n - C_{2n+1}^3 x^{n-1} + C_{2n+1}^5 x^{n-2} - \cdots = 0$.
Составить уравнение, корнями которого являлись бы числа:
a) $\sin^2 \frac {\pi}{2n + 1}, \sin^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, \sin^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots, \sin^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$;
б) $ctg^2 \frac {\pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {2 \pi}{2n + 1}, ctg^2 \frac {3 \pi}{2n + 1}, \cdots, ctg^2 \frac {n \pi}{2n + 1}$.
Решение:
а) В силу результата задачи 3216) имеем:
$sin (2n + 1) \alpha = C_{2n+1}^1 (1 - \sin^2 \alpha)^n \sin \alpha - C_{2n+1}^3 (1 - \sin^2 \alpha)^{n-1} \sin^3 \alpha + \cdots + (-1)^n \sin^{2n+1} \alpha$
Отсюда вытекает, что числа $0, \sin \frac{\pi}{2n+1}, \sin \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin \frac{n \pi}{2n+1}, \sin \left ( - \frac{\pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{\pi}{2n+1}, \sin \left ( - \frac{2 \pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin \left ( - \frac{n \pi}{2n+1} \right ) = - \sin \frac{n \pi}{2n+1}$
являются корнями такого уравнения $(2n + 1)$-й степени:
$C_{2n+1}^1 (1 - x^2)^n x - C_{2n+1}^3 (1 - x^2)^{n-1} x^3 + \cdots + (-1)^n x^{2n+1} = 0$.
Следовательно, числа $\sin^2 \frac{\pi}{2n+1}, \sin^2 \frac{2 \pi}{2n+1}, \cdots, \sin^2 \frac{n \pi}{2n+1}$ являются корнями уравнения $n$-степени:
$C_{2n+1}^1 (1-x)^n - C_{2n+1}^3 (1- x)^{n-1} x + \cdots + (-1)^n x^n = 0$.
б) Заменим в формуле задачи 3033 б) $n$ на $2n + 1$ и запишем ее в следующем виде:
$\sin (2n+1) \alpha = \sin^{2n+1} \alpha (C_{2n+1}^1 ctg^2n \alpha - C_{2n+1}^3 ctg^{2n-2} \alpha + C_{2n+1}^5 ctg^{2n-4} \alpha - \cdots)$.
Отсюда следует, что при $\alpha = \frac{ \pi}{2n+1}, \frac{2 \pi}{2n+1}, \frac{3 \pi}{2n+1}, \cdots, \frac{ n \pi}{2n+1}$ имеет место равенство
$C_{2n+1}^1 ctg^{2n} \alpha - C_{2n+1}^3 ctg^{2n-2} \alpha + C_{2n+1}^5 ctg^{2n-4} \alpha - \cdots = 0$
т. е. что числа $ctg \frac{ \pi}{2n+1} ctg^2 {2 \pi}{2n+1}, \cdots, ctg^2 \frac{n \pi}{2n+1}$ являются корнями следующего уравнения $n$-й степени:
$C_{2n+1}^1 x^n - C_{2n+1}^3 x^{n-1} + C_{2n+1}^5 x^{n-2} - \cdots = 0$.
