ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Доказать, что

$\cos \frac {2 \pi}{2n+1} + \cos \frac {4 \pi}{2n+1} + \cos \frac {6 \pi}{2n+1} + \cdots + \cos \frac {2 n \pi}{2n+1} = - \frac{1}{2}$.


Решение:


Рассмотрим уравнение $x^{2n+1} - 1 = 0$, корни которого:

$1, \cos \frac{2\pi}{2n+1} + i \sin \frac{2\pi}{2n+1}, \cos \frac{4\pi}{2n+1} + i \sin \frac{4\pi}{2n+1}, \cdots, \cos \frac{4 n \pi}{2n+1} + i \sin \frac{4n \pi}{2n+1}$.

Так как коэффициент при $х^{2n}$ в уравнении равен нулю, то сумма всех этих корней равна нулю:

$\left [ 1 + \cos \frac{2 \pi}{2n+1} + \cos \frac{4 \pi}{2n+1} + \cdots + \cos \frac{4 \pi n}{2n+1} \right ] + i \left [ \sin \frac{2 \pi}{2n+1} + \sin \frac{4 \pi}{2n+1} + \cdots + \sin \frac{4 n \pi}{2n+1} \right ] = 0$.

Следовательно, выражение в каждой скобке равно нулю, откуда, в частности,

$\cos \frac{2 \pi}{2n+1} + \cos \frac{4 \pi}{2n+1} + \cdots + \cos \frac{4 n \pi}{2n+1} = -1$.

Но

$\cos \frac{2 \pi}{2n+} = \cos \frac{4 n \pi}{2n+1}, \cos \frac{4 \pi}{2n+1} = \cos \frac{(4n-2) \pi}{2n+1}$,

и т. д., значит,

$2 \left[ \cos \frac{2 \pi}{2n+1} + \cos \frac{4 \pi}{2n+1} + \cdots + \cos \frac{2 n \pi}{2n+1} \right ] = -1$,

т.е.

$\cos \frac{2 \pi}{2n+1} + \cos \frac{2 \pi}{2n+1} + \cdots + \cos \frac{2 n \pi}{2n+1} = - \frac{1}{2}$.

Примечание. Можно также решить эту задачу, исходя из формул задачи 3036.