Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3039
2019-05-06 
Доказать, что если $m, n, p$ - произвольные целые числа, то
$\sin \frac{m \pi}{p} \sin \frac{n \pi}{p} + \sin \frac{2m \pi}{p} \sin \frac{2n \pi}{p} + \sin \frac{3m \pi}{p} \sin \frac{3n \pi}{p} + \cdots + \sin \frac {(p-1)m \pi}{p} \sin \frac {(p-1)n \pi}{p} = \begin{cases} - \frac{p}{2} & \:если m+n \:делится \:на 2p, \:а m-n \:не \:делится \:на 2p \\ \frac{p}{2} & \:если m-n \:делится \:на 2p, \:а m+n \:не \:делится \:на 2p \\ 0 & \:если m+n \:и m - n \:одновременно \:делятся \:или \:одновременно \:не \:делятся \:на 2p \end{cases}$.
Решение:
Воспользуемся формулой
$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A-B) - \cos (A + B)]$.
Отсюда следует, что нашу сумму можно представить в виде
$\frac{1}{2} \left [ \cos \frac{(m-n) \pi}{p} + \cos \frac{2(m-n) \pi}{p} + \cos \frac{3(m-n) \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1)(m-n) \pi}{p} \right ] - \frac{1}{2} \left [ \cos \frac{(m+n) \pi}{p} + \cos \frac{2(m+n) \pi}{p} + \cos {3(m+n) \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1)(m+n) \pi}{p} \right ]$.
Но сумма
$\cos \frac{k \pi}{p} + \cos \frac{2k \pi}{p} + \cos \frac{3k \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1) k \pi}{p}$
равна $p - 1$, если $k$ делится на $2p$ (в этом случае каждое слагаемое суммы равно 1); в случае же, когда $k$ не делится на $2p$, эта сумма, в силу результата задачи 3036, равна
$\frac {\sin \frac{pk \pi}{2p} \cos \frac {(p-1)k \pi}{2p}}{\sin \frac{k \pi}{2p}} - 1 = \sin \frac{k \pi}{2} \cdot \frac {\cos \left ( \frac{k \pi}{2} - \frac{k \pi}{2p} \right )}{\sin \frac{k \pi}{2p}} - 1 = \begin{cases} 0 & \: если k \: нечетно \\ -1 & \: если k \: четно \end{cases}$.
Отметим еще, что оба числа $m + n$ и $m - n$ будут четны или нечетны одновременно; в частности, если $m + n$ или $m - n$ делится на $2p$, то и $m + n$ и$m - n$ - четные числа. Отсюда вытекает равенство, требуемое условием задачи.
Доказать, что если $m, n, p$ - произвольные целые числа, то
$\sin \frac{m \pi}{p} \sin \frac{n \pi}{p} + \sin \frac{2m \pi}{p} \sin \frac{2n \pi}{p} + \sin \frac{3m \pi}{p} \sin \frac{3n \pi}{p} + \cdots + \sin \frac {(p-1)m \pi}{p} \sin \frac {(p-1)n \pi}{p} = \begin{cases} - \frac{p}{2} & \:если m+n \:делится \:на 2p, \:а m-n \:не \:делится \:на 2p \\ \frac{p}{2} & \:если m-n \:делится \:на 2p, \:а m+n \:не \:делится \:на 2p \\ 0 & \:если m+n \:и m - n \:одновременно \:делятся \:или \:одновременно \:не \:делятся \:на 2p \end{cases}$.
Решение:
Воспользуемся формулой
$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A-B) - \cos (A + B)]$.
Отсюда следует, что нашу сумму можно представить в виде
$\frac{1}{2} \left [ \cos \frac{(m-n) \pi}{p} + \cos \frac{2(m-n) \pi}{p} + \cos \frac{3(m-n) \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1)(m-n) \pi}{p} \right ] - \frac{1}{2} \left [ \cos \frac{(m+n) \pi}{p} + \cos \frac{2(m+n) \pi}{p} + \cos {3(m+n) \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1)(m+n) \pi}{p} \right ]$.
Но сумма
$\cos \frac{k \pi}{p} + \cos \frac{2k \pi}{p} + \cos \frac{3k \pi}{p} + \cdots + \cos \frac {(p-1) k \pi}{p}$
равна $p - 1$, если $k$ делится на $2p$ (в этом случае каждое слагаемое суммы равно 1); в случае же, когда $k$ не делится на $2p$, эта сумма, в силу результата задачи 3036, равна
$\frac {\sin \frac{pk \pi}{2p} \cos \frac {(p-1)k \pi}{2p}}{\sin \frac{k \pi}{2p}} - 1 = \sin \frac{k \pi}{2} \cdot \frac {\cos \left ( \frac{k \pi}{2} - \frac{k \pi}{2p} \right )}{\sin \frac{k \pi}{2p}} - 1 = \begin{cases} 0 & \: если k \: нечетно \\ -1 & \: если k \: четно \end{cases}$.
Отметим еще, что оба числа $m + n$ и $m - n$ будут четны или нечетны одновременно; в частности, если $m + n$ или $m - n$ делится на $2p$, то и $m + n$ и$m - n$ - четные числа. Отсюда вытекает равенство, требуемое условием задачи.
