Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3038
2019-05-06 
Упростить
$\cos \alpha + C_n^1 \cos 2 \alpha + C_n^2 \cos 3 \alpha + \cdots + C_n^{n-1} \cos n \alpha + \cos (n+1) \alpha$
и
$\sin \alpha + C_n^1 \sin 2 \alpha + C_n^2 \sin 3 \alpha + \cdots + C_n^{n-1} \sin n \alpha + \sin (n + 1) \alpha$.
Решение:
Требуется вычислить действительную часть и коэффициент при мнимой части суммы
$(\cos \alpha + i \sin \alpha) + С_n^1 (\cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha) + C_n^2 (\cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha) + \cdots + (\cos (n + 1) \alpha + i \sin (n + 1) \alpha)$.
Обозначая $\cos \alpha + i \sin \alpha$ через $x$ и используя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона, преобразуем эту сумму следующим образом:
$x + C_n^1x^2 + C_n^2 x^3 + \cdots + x^{n+1} = x(x+1)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \alpha + 1 + i \sin \alpha)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha) \left (2 \cos^2 \frac{ \alpha}{2} + 2i \sin \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \alpha}{2} \right )^n = 2^n \cos^n \frac{ \alpha }{2} ( \cos \alpha + i \sin \alpha) \left ( 2 \cos \frac{n \alpha}{2} + i \sin \frac{n \alpha}{2} \right ) = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \left (\cos \frac{n + \alpha}{2} \alpha + i \sin \frac{n +2}{2} \alpha \right )$.
Отсюда следует, что
$\cos \alpha + C_n^1 \cos 2\alpha + C_n^2 \cos 3 \alpha + \cdots + \cos (n+1) \alpha = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{n+2}{2} \alpha$, $\sin \alpha + C_n^1 \sin 2\alpha + C_n^2 \sin 3 \alpha + \cdots + \sin (n+1) \alpha = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{n+2}{2} \alpha$.
Упростить
$\cos \alpha + C_n^1 \cos 2 \alpha + C_n^2 \cos 3 \alpha + \cdots + C_n^{n-1} \cos n \alpha + \cos (n+1) \alpha$
и
$\sin \alpha + C_n^1 \sin 2 \alpha + C_n^2 \sin 3 \alpha + \cdots + C_n^{n-1} \sin n \alpha + \sin (n + 1) \alpha$.
Решение:
Требуется вычислить действительную часть и коэффициент при мнимой части суммы
$(\cos \alpha + i \sin \alpha) + С_n^1 (\cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha) + C_n^2 (\cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha) + \cdots + (\cos (n + 1) \alpha + i \sin (n + 1) \alpha)$.
Обозначая $\cos \alpha + i \sin \alpha$ через $x$ и используя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона, преобразуем эту сумму следующим образом:
$x + C_n^1x^2 + C_n^2 x^3 + \cdots + x^{n+1} = x(x+1)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \alpha + 1 + i \sin \alpha)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha) \left (2 \cos^2 \frac{ \alpha}{2} + 2i \sin \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{ \alpha}{2} \right )^n = 2^n \cos^n \frac{ \alpha }{2} ( \cos \alpha + i \sin \alpha) \left ( 2 \cos \frac{n \alpha}{2} + i \sin \frac{n \alpha}{2} \right ) = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \left (\cos \frac{n + \alpha}{2} \alpha + i \sin \frac{n +2}{2} \alpha \right )$.
Отсюда следует, что
$\cos \alpha + C_n^1 \cos 2\alpha + C_n^2 \cos 3 \alpha + \cdots + \cos (n+1) \alpha = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{n+2}{2} \alpha$, $\sin \alpha + C_n^1 \sin 2\alpha + C_n^2 \sin 3 \alpha + \cdots + \sin (n+1) \alpha = 2^n \cos^n \frac{ \alpha}{2} \sin \frac{n+2}{2} \alpha$.
