Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3037
2019-05-06 
Упростить
$\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + \cos^2 n \alpha$
и
$\sin^2 \alpha + \sin^2 2 \alpha + \cdots + \sin^2 n \alpha$.
Решение:
Воспользуемся тем, что $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. Отсюда, используя результат задачи 3036, получим:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + cos^2 n \alpha = \frac{1}{2} [\cos 2 \alpha + \cos 4 \alpha + \cdots + \cos 2 n \alpha + n] = \frac{1}{2} \left [ \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{\sin \alpha} - 1 \right ] + \frac{n}{2} = \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha} + \frac{ n-1}{2}$.
А так как $\sin^2x = 1 - cos^2 x$, то
$\sin^2 \alpha + \sin^2 2 \alpha + \cdots + \sin^2 n \alpha = n - \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha} - \frac{n-1}{2} = \frac{n+1}{2} - \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha}$.
Ответ: $\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + \cos^2 n \alpha = \frac{n-1}{2} + \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha}$.
Упростить
$\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + \cos^2 n \alpha$
и
$\sin^2 \alpha + \sin^2 2 \alpha + \cdots + \sin^2 n \alpha$.
Решение:
Воспользуемся тем, что $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. Отсюда, используя результат задачи 3036, получим:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + cos^2 n \alpha = \frac{1}{2} [\cos 2 \alpha + \cos 4 \alpha + \cdots + \cos 2 n \alpha + n] = \frac{1}{2} \left [ \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{\sin \alpha} - 1 \right ] + \frac{n}{2} = \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha} + \frac{ n-1}{2}$.
А так как $\sin^2x = 1 - cos^2 x$, то
$\sin^2 \alpha + \sin^2 2 \alpha + \cdots + \sin^2 n \alpha = n - \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha} - \frac{n-1}{2} = \frac{n+1}{2} - \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha}$.
Ответ: $\cos^2 \alpha + \cos^2 2 \alpha + \cdots + \cos^2 n \alpha = \frac{n-1}{2} + \frac {\sin (n+1) \alpha \cos n \alpha}{2 \sin \alpha}$.
