Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3036
2019-05-06 
Доказать, что
$sin \phi + \sin (\phi + \alpha) + \sin (\phi + 2 \alpha) + \cdots + \sin (\phi + n \alpha) = \frac { \sin \frac{(n+1) \alpha}{2} \sin \left (\phi + \frac{n \alpha}{2} \right ) }{ \sin \frac{ \alpha}{2}}$
и
$\cos \phi + \cos (\phi + \alpha) + \cos (\phi + 2 \alpha) + \cdots + \cos (\phi + n \alpha) = \frac {\sin \frac{((n+1) \alpha}{2} \cos \left ( \phi + \frac{n \alpha}{2} \right )}{\sin \frac{\alpha}{2}}$.
Решение:
Рассмотрим сумму
$[\cos \phi + i \sin \phi] + [\cos (\phi + \alpha) + i \sin (\phi + \alpha)] + [\cos (\phi + 2 \alpha) + i \sin (\phi + 2 \alpha)]+ \cdots + [\cos (\phi + n \alpha) + i \sin (\phi + n \alpha)]$.
Наша задача сводится к вычислению коэффициентов при мнимой и действительной частях этой суммы. Обозначая $\cos \phi + i \sin \phi$ через $\alpha$ и $\cos \alpha + i \sin \alpha$ через $х$ и применяя формулу для произведения комплексных чисел и формулу Муавра, найдем, что рассматриваемая сумма равна
$a + ax + ax^2 + \cdots + ax^n = \frac {ax^{n+1} - a}{x-1} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {\cos (n+1) \alpha + 1 \sin (n+1) \alpha - 1}{\cos \alpha + i \sin \alpha - 1} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac { [ ( \cos (n+1) \alpha - 1) + i \sin (n+1) \alpha]}{[\cos \alpha - 1 + i \sin \alpha]} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {-2 \sin \frac{n+1}{2} \alpha + 2 i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \cos \frac{n+1}{2} \alpha}{-2 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} + 2i \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} } = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {2i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \left [\cos \frac{n+1}{2} \alpha + i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \right ]}{2i \sin \frac{ \alpha}{2} \left [ \cos \frac{ \alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2} \right ]} = \frac {\sin \frac{n+1}{2} \alpha}{\sin \frac{ \alpha}{2} } (\cos \phi + i \sin \phi) \frac { \left ( \cos \frac{n+1}{2} \alpha + i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \right ) \left ( \cos \frac{ \alpha}{2} - i \sin \frac{ \alpha}{2} \right ) }{ \cos^2 \frac{ \alpha}{2} + \sin^2 \frac{ \alpha}{2} } = \frac {\sin \frac{n+1}{2} \alpha}{ \sin \frac{\alpha}{2}} \left [ \cos \left (\phi + \frac{n}{2} \right ) \alpha + i \sin \left ( \phi + \frac{n}{2} \alpha \right ) \right ]$
(здесь снова используется формула умножения комплексных чисел, а также то, что $\cos \frac{ \alpha}{2} - i \sin \frac{ \alpha}{2} = \cos \left (- \frac{ \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (- \frac{ \alpha}{2} \right )$).
Отсюда сразу следуют требуемые формулы.
Доказать, что
$sin \phi + \sin (\phi + \alpha) + \sin (\phi + 2 \alpha) + \cdots + \sin (\phi + n \alpha) = \frac { \sin \frac{(n+1) \alpha}{2} \sin \left (\phi + \frac{n \alpha}{2} \right ) }{ \sin \frac{ \alpha}{2}}$
и
$\cos \phi + \cos (\phi + \alpha) + \cos (\phi + 2 \alpha) + \cdots + \cos (\phi + n \alpha) = \frac {\sin \frac{((n+1) \alpha}{2} \cos \left ( \phi + \frac{n \alpha}{2} \right )}{\sin \frac{\alpha}{2}}$.
Решение:
Рассмотрим сумму
$[\cos \phi + i \sin \phi] + [\cos (\phi + \alpha) + i \sin (\phi + \alpha)] + [\cos (\phi + 2 \alpha) + i \sin (\phi + 2 \alpha)]+ \cdots + [\cos (\phi + n \alpha) + i \sin (\phi + n \alpha)]$.
Наша задача сводится к вычислению коэффициентов при мнимой и действительной частях этой суммы. Обозначая $\cos \phi + i \sin \phi$ через $\alpha$ и $\cos \alpha + i \sin \alpha$ через $х$ и применяя формулу для произведения комплексных чисел и формулу Муавра, найдем, что рассматриваемая сумма равна
$a + ax + ax^2 + \cdots + ax^n = \frac {ax^{n+1} - a}{x-1} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {\cos (n+1) \alpha + 1 \sin (n+1) \alpha - 1}{\cos \alpha + i \sin \alpha - 1} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac { [ ( \cos (n+1) \alpha - 1) + i \sin (n+1) \alpha]}{[\cos \alpha - 1 + i \sin \alpha]} = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {-2 \sin \frac{n+1}{2} \alpha + 2 i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \cos \frac{n+1}{2} \alpha}{-2 \sin^2 \frac{ \alpha}{2} + 2i \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} } = (\cos \phi + i \sin \phi) \frac {2i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \left [\cos \frac{n+1}{2} \alpha + i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \right ]}{2i \sin \frac{ \alpha}{2} \left [ \cos \frac{ \alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2} \right ]} = \frac {\sin \frac{n+1}{2} \alpha}{\sin \frac{ \alpha}{2} } (\cos \phi + i \sin \phi) \frac { \left ( \cos \frac{n+1}{2} \alpha + i \sin \frac{n+1}{2} \alpha \right ) \left ( \cos \frac{ \alpha}{2} - i \sin \frac{ \alpha}{2} \right ) }{ \cos^2 \frac{ \alpha}{2} + \sin^2 \frac{ \alpha}{2} } = \frac {\sin \frac{n+1}{2} \alpha}{ \sin \frac{\alpha}{2}} \left [ \cos \left (\phi + \frac{n}{2} \right ) \alpha + i \sin \left ( \phi + \frac{n}{2} \alpha \right ) \right ]$
(здесь снова используется формула умножения комплексных чисел, а также то, что $\cos \frac{ \alpha}{2} - i \sin \frac{ \alpha}{2} = \cos \left (- \frac{ \alpha}{2} \right ) + i \sin \left (- \frac{ \alpha}{2} \right )$).
Отсюда сразу следуют требуемые формулы.
