Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3035
2019-05-06 
Доказать, что если $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$, то $x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \alpha$.
Решение:
Уравнение $ x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$ перепишем в виде
$x^2 + 1 = 2x \cos \alpha$, или $x^2 - 2x \cos \alpha + 1 = 0$.
Значит,
$x = \cos \alpha \pm \sqrt {\cos^2 \alpha - 1} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha$.
Отсюда вытекает, что
$x^n = \cos n \alpha \pm i \sin n \alpha$;
$\frac{1}{x^n} = \frac{1}{ \cos n \alpha + i \sin n \alpha} = \cos n \alpha \mp i \sin n \alpha$.
После сложения получим:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \alpha$.
Доказать, что если $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$, то $x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \alpha$.
Решение:
Уравнение $ x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$ перепишем в виде
$x^2 + 1 = 2x \cos \alpha$, или $x^2 - 2x \cos \alpha + 1 = 0$.
Значит,
$x = \cos \alpha \pm \sqrt {\cos^2 \alpha - 1} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha$.
Отсюда вытекает, что
$x^n = \cos n \alpha \pm i \sin n \alpha$;
$\frac{1}{x^n} = \frac{1}{ \cos n \alpha + i \sin n \alpha} = \cos n \alpha \mp i \sin n \alpha$.
После сложения получим:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \alpha$.
