Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3033
2019-05-06 
а) Доказать, что
$\cos 5 \alpha = \cos^5 \alpha - 10 \cos^3 \alpha \sin^2 \alpha + 5 \cos \alpha \sin^4 \alpha, \sin 5 \alpha = \sin 5 \alpha - 10 \sin^3 \alpha \cos^2 \alpha + 5 \sin \alpha \cos 4 \alpha$.
б) Доказать, что при каждом целом $n$
$\cos n \alpha = \cos^n \alpha - C_{n}^2 \cos^{n-2} \alpha \sin^2 \alpha + C_n^4 \cos^{n-4} \alpha \sin^4 \alpha - C_n^6 \cos ^{n - 6} \alpha \sin^6 \alpha + \cdots$
$\sin n \alpha = C_n^1 \cos^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_{n}^3 \cos^{n-3} \alpha \sin^3 \alpha + C_n^5 \cos^{n-5} \alpha \sin^5 \alpha - \cdots $
где обозначенные точками члены, закон образования которых легко подметить, выписываются до тех пор, пока сохраняют смысл биномиальные коэффициенты.
Примечание. Задача б), очевидно, является обобщением задачи а).
Решение:
а) Используя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона, будем иметь:
$\cos 5\alpha + i \sin 5\alpha = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^5 = \cos^5 \alpha + 5 \cos^4 \alpha i \sin \alpha + 10 \cos^3 \alpha(i \sin \alpha)^2 + 10 \cos^2 \alpha(i \sin \alpha)^3 + 5 \cos \alpha(( \sin \alpha)^4 + (i \sin \alpha)^5 = (\cos^5 \alpha - 10 \cos^3 \alpha \sin^2 \alpha + 5 \cos \alpha \sin^4 \alpha) + i(5 \cos^4 \alpha \sin \alpha - 10 \cos^2 \alpha \sin^3 \alpha + \sin^5 \alpha)$.
Приравнивая действительные и мнимые части слева и справа, получаем требуемые формулы.
б) Аналогично решению задачи а) имеем:
$\cos n \alpha + i \sin n \alpha = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n =
= \cos^n \alpha + C_n^l \cos^{n-1} \alpha i \sin \alpha + C_n^2 \cos^{n-2} \alpha (i \sin \alpha)^2 + C_n^3 \cos^{n-3} \alpha (i \sin \alpha)^3 + С_n^4 \cos^{n-4} \alpha (i \sin \alpha)^4 + \cdots = (\cos^n \alpha - C_n^2 \cos^{n-2} \alpha \sin^2 \alpha + C_n^4 \cos^{n-4} \alpha \sin^4 \alpha - \cdots) + i (C_n^1 \cos^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos^{n-3} \alpha \sin^3 \alpha + \cdots)$.
Отсюда и вытекают нужные формулы.
а) Доказать, что
$\cos 5 \alpha = \cos^5 \alpha - 10 \cos^3 \alpha \sin^2 \alpha + 5 \cos \alpha \sin^4 \alpha, \sin 5 \alpha = \sin 5 \alpha - 10 \sin^3 \alpha \cos^2 \alpha + 5 \sin \alpha \cos 4 \alpha$.
б) Доказать, что при каждом целом $n$
$\cos n \alpha = \cos^n \alpha - C_{n}^2 \cos^{n-2} \alpha \sin^2 \alpha + C_n^4 \cos^{n-4} \alpha \sin^4 \alpha - C_n^6 \cos ^{n - 6} \alpha \sin^6 \alpha + \cdots$
$\sin n \alpha = C_n^1 \cos^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_{n}^3 \cos^{n-3} \alpha \sin^3 \alpha + C_n^5 \cos^{n-5} \alpha \sin^5 \alpha - \cdots $
где обозначенные точками члены, закон образования которых легко подметить, выписываются до тех пор, пока сохраняют смысл биномиальные коэффициенты.
Примечание. Задача б), очевидно, является обобщением задачи а).
Решение:
а) Используя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона, будем иметь:
$\cos 5\alpha + i \sin 5\alpha = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^5 = \cos^5 \alpha + 5 \cos^4 \alpha i \sin \alpha + 10 \cos^3 \alpha(i \sin \alpha)^2 + 10 \cos^2 \alpha(i \sin \alpha)^3 + 5 \cos \alpha(( \sin \alpha)^4 + (i \sin \alpha)^5 = (\cos^5 \alpha - 10 \cos^3 \alpha \sin^2 \alpha + 5 \cos \alpha \sin^4 \alpha) + i(5 \cos^4 \alpha \sin \alpha - 10 \cos^2 \alpha \sin^3 \alpha + \sin^5 \alpha)$.
Приравнивая действительные и мнимые части слева и справа, получаем требуемые формулы.
б) Аналогично решению задачи а) имеем:
$\cos n \alpha + i \sin n \alpha = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n =
= \cos^n \alpha + C_n^l \cos^{n-1} \alpha i \sin \alpha + C_n^2 \cos^{n-2} \alpha (i \sin \alpha)^2 + C_n^3 \cos^{n-3} \alpha (i \sin \alpha)^3 + С_n^4 \cos^{n-4} \alpha (i \sin \alpha)^4 + \cdots = (\cos^n \alpha - C_n^2 \cos^{n-2} \alpha \sin^2 \alpha + C_n^4 \cos^{n-4} \alpha \sin^4 \alpha - \cdots) + i (C_n^1 \cos^{n-1} \alpha \sin \alpha - C_n^3 \cos^{n-3} \alpha \sin^3 \alpha + \cdots)$.
Отсюда и вытекают нужные формулы.
