ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Доказать, что если многочлен

$P(x) = x^n + A_1x^{n-1} + A_2x^{n-2} + \cdots + A_{n-1}x + A_n$

при всех целых значениях $x$ принимает целые значения, то его можно представить в виде суммы многочленов

$P_0 (x) = 1, P_1 (x) = x, P_2 (x) = \frac {x (x-1)}{1 \cdot 2}, \cdots, P_n (x) = \frac {x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot n}$,

обладающих тем же свойством (в силу задачи 2998 а)), взятых с целыми коэффициентами.


Решение:


Заметим прежде всего, что каждый многочлен $n$-й степени $P(x)$ можно представить в виде суммы многочленов

$P_0(x) = 1, P_1(x) = x$,
$P_2 (x) = \frac {x(x-1)(x-2) \cdots (x-n + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}$,

взятых с некоторыми коэффициентами:

$P(x) = b_nP_n (x) + b_{n-1}P_{n-1}(x) + \cdots + b_1P_1(x) + b_0P_0 (x)$.

Для доказательства этого заметим, что если $\frac{b_n}{n!}$ равно старшему коэффициенту многочлена $P(x)$, то $P(x)$ и $b_nP_n(x)$ имеют одинаковые коэффициенты при $x^n$ если, кроме того, $\frac {b_{n-1}}{(n-1)!}$ равно старшему коэффициенту $P(x) - b_nP_n(x)$, то $P(x)$ и $b_nP_n(x) + b_{n-1}P_{n-1}(x)$ имеют одинаковые коэффициенты при $x^n$ и $x^{n-1}$, если, кроме того, $\frac {b_{n-2}}{(n-2)!}$ равно старшему коэффициенту многочлена $P(x) - b_nP_n (x) - b_{n-1}P_{n-1}(x)$, то $P(x)$ и $b_nP_n (x) + b_{n-2}(x)$ имеют одинаковые коэффициенты при $x^n, x^{n-1}$ и $x^{n-2}$, и т. д.; таким образом, можно определить $b_n, b_{n-1}, \cdots, b_1, b_0$ так, чтобы многочлены $P(x)$ и $b_nP_n(x) + b_{n-1}P_{n-1}(x) + \cdots + b_1P_1 (x) + b_0P_0(x)$ полностью совпадали.

Пусть теперь многочлен $n$-й степени $P(x)$ таков, что $P(0), P(1), \cdots, P(n)$ - целые числа. Как и всякий многочлен, его можно представить в виде

$P(x) = b_0P_0(x)+b_1P_1(x) + b_2P_2(x) + \cdots + b_nP_n(x)$.

Заметим, что

$P_1 (0) = P_2 (0) = \cdots = P_n(0) = P_2(1) = P_3(1) = \cdots = P_n(1) = P_3(2) = \cdots = P_n(2) = \cdots = P_{n-1}(n-2) = P_n(n-2) = P_n (n-1) = 0$, $P_0(0) = P_1(1) = P_2(2) = \cdots = P_{n-1}(n-1) = P_n(n) = 1$.

Поэтому

$P(0) = b_0P_0(0)$, откуда $b_0 = P(0)$;
$P(1) = b_0P_0(0) + b_lP_l(l)$, откуда $b_1 = P(1) - b_0P_0(1)$; $P(2) = b_0P_0(2) + b_1P_1(2) + b_2P_2(2)$,

откуда

$b_2 = P(2) - b_0P_0(2) - b_1P_1(2)$;
$\cdots$.
$P(n) = b_0P_0(n) + b_1P_1(n) + \cdots + b_{n-1}P_{n-1}(n) + b_nP_n(n)$,

откуда $b_n = P(n) - b_0P_0(n) - b_1P_1(n) - \cdots - b_{n-1}P_{n-1}(n)$.

Таким образом, все коэффициенты $b_0, b_1, b_2, \cdots, b_n$ являются целыми числами.