Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3030
2019-05-06 
Доказать, что не существует такого многочлена
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$,
что все числа $P(0), P(1), P(2), \cdots$ являются простыми.
Решение:
Пусть $N$ - некоторое целое число и $P(N) = M$. При любом целом $k$
$P(N + kM) - P(N) = a_0[(N + kM)^n - N^n] + a_1 [(N + kM)^{n-1} - N^{n-1}] + \cdots + a_{n-1} [(N + kM) - N]$
делится на $kM$ (ибо $(N + kM)^l - N^l$ делится на $(N + kM) - N = kM)$, а значит, и на $M$; поэтому $P(N + kM)$ делится на $M$ при любом целом $k$.
Таким образом, если доказать, что среди значений $P(N + kM) (k = 0, 1, 2, \cdots)$ встречаются числа, отличные от $\pm M$, то тем самым будет доказано, что не все они являются простыми. Но многочлен $P(x)$ $n$-й степени принимает любое значение $А$, самое большее для $n$ различных значений $x$ (ибо иначе уравнение $n$-й степени $P(x) - А = 0$ имело бы больше $n$ корней). Таким образом, среди первых $2n + 1$ значений $P(N + kM)(k = 0, 1, 2, \cdots, 2n)$ имеется по крайней мере одно, отличное от $+ M$ и $- M$.
Доказать, что не существует такого многочлена
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$,
что все числа $P(0), P(1), P(2), \cdots$ являются простыми.
Решение:
Пусть $N$ - некоторое целое число и $P(N) = M$. При любом целом $k$
$P(N + kM) - P(N) = a_0[(N + kM)^n - N^n] + a_1 [(N + kM)^{n-1} - N^{n-1}] + \cdots + a_{n-1} [(N + kM) - N]$
делится на $kM$ (ибо $(N + kM)^l - N^l$ делится на $(N + kM) - N = kM)$, а значит, и на $M$; поэтому $P(N + kM)$ делится на $M$ при любом целом $k$.
Таким образом, если доказать, что среди значений $P(N + kM) (k = 0, 1, 2, \cdots)$ встречаются числа, отличные от $\pm M$, то тем самым будет доказано, что не все они являются простыми. Но многочлен $P(x)$ $n$-й степени принимает любое значение $А$, самое большее для $n$ различных значений $x$ (ибо иначе уравнение $n$-й степени $P(x) - А = 0$ имело бы больше $n$ корней). Таким образом, среди первых $2n + 1$ значений $P(N + kM)(k = 0, 1, 2, \cdots, 2n)$ имеется по крайней мере одно, отличное от $+ M$ и $- M$.
