Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3029
2019-05-06 
Доказать, что все рациональные корни многочлена
$P(x) = x^n + a_2x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$
с целыми коэффициентами и с коэффициентом при старшей степени $x$ равным 1, являются целыми.
Решение:
Докажем, что при любом рациональном, но не целом значении $x$ многочлен $P(x)$ не может быть целым числом, а значит, не равен нулю, ибо нуль - целое число.
Пусть $x = \frac{p}{q}$ где $p$ и $q$ взаимно просты. Тогда
$P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n = \frac{p^n}{q^n} + a_1 \frac {p^{n-1}}{q^{n-1}} + a_2 \frac {p^{n-2}}{q^{n-2}} + \cdots + a_{n-1} \frac{p}{q} + a_n = \frac {p^n + a_1 p^{n-1} + a_2 p^{n-2} q^2 + \cdots + a_{n-1} pq^{n-1} + a_n q^n}{q^n} = \frac {p^n + q (a_1p^{n-1} + a_2 p^{n-2} q + \cdots + a_{n-1} pq^{n-2} + a_n q^{n-1}}{q^n}$.
Число $p^n$, как и $p$, взаимно просто с $q$; следовательно, $p^n + q(a_1p^{n-1} + \cdots + a_nq^{n-1}$) также взаимно просто с $q$, а значит, и с $q^n$. Поэтому у нас получилась несократимая дробь, которая не может быть равна целому числу.
Доказать, что все рациональные корни многочлена
$P(x) = x^n + a_2x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$
с целыми коэффициентами и с коэффициентом при старшей степени $x$ равным 1, являются целыми.
Решение:
Докажем, что при любом рациональном, но не целом значении $x$ многочлен $P(x)$ не может быть целым числом, а значит, не равен нулю, ибо нуль - целое число.
Пусть $x = \frac{p}{q}$ где $p$ и $q$ взаимно просты. Тогда
$P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n = \frac{p^n}{q^n} + a_1 \frac {p^{n-1}}{q^{n-1}} + a_2 \frac {p^{n-2}}{q^{n-2}} + \cdots + a_{n-1} \frac{p}{q} + a_n = \frac {p^n + a_1 p^{n-1} + a_2 p^{n-2} q^2 + \cdots + a_{n-1} pq^{n-1} + a_n q^n}{q^n} = \frac {p^n + q (a_1p^{n-1} + a_2 p^{n-2} q + \cdots + a_{n-1} pq^{n-2} + a_n q^{n-1}}{q^n}$.
Число $p^n$, как и $p$, взаимно просто с $q$; следовательно, $p^n + q(a_1p^{n-1} + \cdots + a_nq^{n-1}$) также взаимно просто с $q$, а значит, и с $q^n$. Поэтому у нас получилась несократимая дробь, которая не может быть равна целому числу.
