Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3028
2019-05-06 
Доказать, что если два многочлена с целыми, коэффициентами в произведении дают многочлен с четными коэффициентами, не все из которых делятся на 4, то в одном из перемножаемых многочленов все коэффициенты - четные, а в другом - не все четные.
Решение:
Запишем многочлены в виде
$A = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$
и
$B = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_mx^m$.
Так как по условию в произведении не все коэффициенты делятся на 4, то у обоих многочленов все коэффициенты не могут быть четными. Следовательно, у одного из них, например у многочлена $B$, не все коэффициенты четные. Допустим, что в многочлене $A$ тоже есть нечетные коэффициенты. Рассмотрим первый из них (имеющий наименьший номер); пусть это будет коэффициент $a_s$. Пусть, далее, первый нечетный коэффициент многочлена $B$ будет $b_k$. Рассмотрим коэффициент при $x^{k+s}$ в произведении многочленов $A$ и $B$. Степень $x^{k+s}$ в произведении могла получиться только из таких степеней $х$, сумма показателей которых равна $k + s$; следовательно, этот коэффициент равен
$a_0b_{k+s} + a_1b_{k+s-1} + \cdots + a_{s-1}b_{k+1} + a_sb_k + a_{s+1}b_{k-1} + \cdots + a_{s+k}b_0$.
В этой сумме все произведения, стоящие до члена $a_sb_к$, четны, так как четны все числа $a_0, a_1, \cdots, a_{a-1}$. Также четны все произведения, стоящие после $a_ab_k$, так как $b_{k-1}, b_{k-2}, \cdots, b_0$ - четные числа. Произведение же $a_ab_к$ - число нечетное, так как и $a_s$ и $b_k$ - числа нечетные. Следовательно, и наша сумма нечетна, что противоречит тому, что в произведении все коэффициенты четны. Таким образом, предположение, что у многочлена $A$ есть нечетные коэффициенты, неверно, и, следовательно, все коэффициенты $A$ - четные числа. А это и требовалось доказать.
Доказать, что если два многочлена с целыми, коэффициентами в произведении дают многочлен с четными коэффициентами, не все из которых делятся на 4, то в одном из перемножаемых многочленов все коэффициенты - четные, а в другом - не все четные.
Решение:
Запишем многочлены в виде
$A = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$
и
$B = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_mx^m$.
Так как по условию в произведении не все коэффициенты делятся на 4, то у обоих многочленов все коэффициенты не могут быть четными. Следовательно, у одного из них, например у многочлена $B$, не все коэффициенты четные. Допустим, что в многочлене $A$ тоже есть нечетные коэффициенты. Рассмотрим первый из них (имеющий наименьший номер); пусть это будет коэффициент $a_s$. Пусть, далее, первый нечетный коэффициент многочлена $B$ будет $b_k$. Рассмотрим коэффициент при $x^{k+s}$ в произведении многочленов $A$ и $B$. Степень $x^{k+s}$ в произведении могла получиться только из таких степеней $х$, сумма показателей которых равна $k + s$; следовательно, этот коэффициент равен
$a_0b_{k+s} + a_1b_{k+s-1} + \cdots + a_{s-1}b_{k+1} + a_sb_k + a_{s+1}b_{k-1} + \cdots + a_{s+k}b_0$.
В этой сумме все произведения, стоящие до члена $a_sb_к$, четны, так как четны все числа $a_0, a_1, \cdots, a_{a-1}$. Также четны все произведения, стоящие после $a_ab_k$, так как $b_{k-1}, b_{k-2}, \cdots, b_0$ - четные числа. Произведение же $a_ab_к$ - число нечетное, так как и $a_s$ и $b_k$ - числа нечетные. Следовательно, и наша сумма нечетна, что противоречит тому, что в произведении все коэффициенты четны. Таким образом, предположение, что у многочлена $A$ есть нечетные коэффициенты, неверно, и, следовательно, все коэффициенты $A$ - четные числа. А это и требовалось доказать.
