Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3027
2019-05-06 
Доказать, что многочлены
а) $x^{2222} + 2x^{2220} + 4x^{2218} + 6x^{2216} + 8x^{2214} + \cdots + 2218x^4 + 2220x^2 + 2222$;
б) $x^{250} + x^{249} + x^{248} + x^{247} + x^{246} + \cdots + x^2 + x + 1$
не могут быть разложены в произведения многочленов с целыми коэффициентами.
Решение:
а) Предположим, что наш многочлен можно разложить на множители с целыми коэффициентами:
$x^{2222} + 2x^{2220} + 4x^{2218} + \cdots + 2220x^2 + 2222 = (a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + A_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_0)(b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + b_{m-2} x^{m-2} + \cdots + b_0)$,
где $m + n = 2222$.
В таком случае $a_0b_0 = 2222$ и, следовательно, из двух целых чисел $a_0, b_0$ одно является четным, а другое - нечетным. Предположим, что $a_0$ есть четное число, а $b_0$ - нечетное. Мы утверждаем, что в таком случае все коэффициенты многочлена $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ должны быть четными. Действительно, предположим, что $a_к$ есть первый с конца нечетный коэффициент этого многочлена. Коэффициент при $x^k$ в произведении
$(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)(b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0)$
будет равен
$a_kb_0 + a_{k-1} b_1 + a_{k-2} b_2 + \cdots + a_0b_k$ (*)
(в случае, если $k > m$, эта сумма окончится членом $a_{k-m}b_m$). Этот коэффициент равен соответствующему коэффициенту при $x^k$ в исходном многочлене, т. е. равен нулю, если $k$ нечетно, и представляет собой четное число, если $k$ четно (ибо все коэффициенты многочлена, заданного в условии задачи, кроме первого, четны, а $k \leq n < 2222$). Но так как, по предположению, все числа $a_{k-1}, a_{k-2}, a_{k-3}, \cdots, a_0$ четны, то в сумме (*) все члены, кроме первого, четны и, следовательно, четным должно быть и произведение $a_kb_0$, что невозможно, так как $a_k$ и $b_0$ нечетны.
Таким образом, мы видим, что все коэффициенты многочлена $a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ должны быть четны, что противоречит тому, что $Aanb_m$ должно равняться единице. Следовательно, неверно и наше предположение о возможности разложения данного многочлена в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.
б) Положим $x = у + 1$. В таком случае мы получим:
$x^{250} + x^{249} + x^{248} + \cdots + x + 1 = (y+1)^{250} + (y + 1)^{249} + \cdots + (y+1) + 1 = \frac {(y+1)^{250} - 1}{(y+1) - 1} = \frac{1}{y} [(y+1)^{251} - 1] = y^{250} + 251 y^{249} + C_{251}^2 y^{248} + C_{251}^3 y^{247} + \cdots + C_{251}^2 y + 251$.
Дальше, используя то, что все, кроме первого, коэффициенты полученного многочлена делятся на простое число 251 (ибо $C_{251}^k = \frac {251 \cdot 250 \cdot 249 \cdots (251 - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k})$ и что свободный член многочлена, равный 251, не делится на $251^2$, мы можем почти дословно повторить рассуждения решения задачи а), заменив лишь четность и нечетность коэффициентов делимостью на 251. Таким образом, мы докажем, что если бы наш многочлен разлагался в произведение двух множителей, то все коэффициенты одного из сомножителей должны были бы делиться на 251, что невозможно, ибо первый коэффициент нашего многочлена равен 1.
Доказать, что многочлены
а) $x^{2222} + 2x^{2220} + 4x^{2218} + 6x^{2216} + 8x^{2214} + \cdots + 2218x^4 + 2220x^2 + 2222$;
б) $x^{250} + x^{249} + x^{248} + x^{247} + x^{246} + \cdots + x^2 + x + 1$
не могут быть разложены в произведения многочленов с целыми коэффициентами.
Решение:
а) Предположим, что наш многочлен можно разложить на множители с целыми коэффициентами:
$x^{2222} + 2x^{2220} + 4x^{2218} + \cdots + 2220x^2 + 2222 = (a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + A_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_0)(b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + b_{m-2} x^{m-2} + \cdots + b_0)$,
где $m + n = 2222$.
В таком случае $a_0b_0 = 2222$ и, следовательно, из двух целых чисел $a_0, b_0$ одно является четным, а другое - нечетным. Предположим, что $a_0$ есть четное число, а $b_0$ - нечетное. Мы утверждаем, что в таком случае все коэффициенты многочлена $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ должны быть четными. Действительно, предположим, что $a_к$ есть первый с конца нечетный коэффициент этого многочлена. Коэффициент при $x^k$ в произведении
$(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)(b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0)$
будет равен
$a_kb_0 + a_{k-1} b_1 + a_{k-2} b_2 + \cdots + a_0b_k$ (*)
(в случае, если $k > m$, эта сумма окончится членом $a_{k-m}b_m$). Этот коэффициент равен соответствующему коэффициенту при $x^k$ в исходном многочлене, т. е. равен нулю, если $k$ нечетно, и представляет собой четное число, если $k$ четно (ибо все коэффициенты многочлена, заданного в условии задачи, кроме первого, четны, а $k \leq n < 2222$). Но так как, по предположению, все числа $a_{k-1}, a_{k-2}, a_{k-3}, \cdots, a_0$ четны, то в сумме (*) все члены, кроме первого, четны и, следовательно, четным должно быть и произведение $a_kb_0$, что невозможно, так как $a_k$ и $b_0$ нечетны.
Таким образом, мы видим, что все коэффициенты многочлена $a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ должны быть четны, что противоречит тому, что $Aanb_m$ должно равняться единице. Следовательно, неверно и наше предположение о возможности разложения данного многочлена в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.
б) Положим $x = у + 1$. В таком случае мы получим:
$x^{250} + x^{249} + x^{248} + \cdots + x + 1 = (y+1)^{250} + (y + 1)^{249} + \cdots + (y+1) + 1 = \frac {(y+1)^{250} - 1}{(y+1) - 1} = \frac{1}{y} [(y+1)^{251} - 1] = y^{250} + 251 y^{249} + C_{251}^2 y^{248} + C_{251}^3 y^{247} + \cdots + C_{251}^2 y + 251$.
Дальше, используя то, что все, кроме первого, коэффициенты полученного многочлена делятся на простое число 251 (ибо $C_{251}^k = \frac {251 \cdot 250 \cdot 249 \cdots (251 - k + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k})$ и что свободный член многочлена, равный 251, не делится на $251^2$, мы можем почти дословно повторить рассуждения решения задачи а), заменив лишь четность и нечетность коэффициентов делимостью на 251. Таким образом, мы докажем, что если бы наш многочлен разлагался в произведение двух множителей, то все коэффициенты одного из сомножителей должны были бы делиться на 251, что невозможно, ибо первый коэффициент нашего многочлена равен 1.
