Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3025
2019-05-06 
Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$
принимает при $x = 0$ и $x = 1$ нечетные значения, то уравнение $P(x) = 0$ не имеет целых корней.
Решение:
Пусть $p$ и $q$ - два целых числа, одновременно четных или нечетных. Тогда разность $P(p)-P(q)$ четна. Действительно, выражение
$P(p) - P(q) = a_0(p^n - q^n) + a_1 (p^{n-1} - q^{n-1}) + \cdots + a_{n-2}(p^2 - q^2) + a_{n-1}(p - q)$
делится на четное число $p - q$.
В частности, при $p$ четном разность $P(p) - P(0)$ четна. Но по условию $P(0)$ нечетно: следовательно, $P(p)$ также нечетно, а потому $P(p) \neq 0$. Аналогично при $p$ нечетном разность $P(p) - P(1)$ четна; так как по условию $P(1)$ нечетно, то отсюда, как и выше, следует, что $P(p) \neq 0$.
Следовательно, $P(x)$ не может обращаться в нуль ни при каком целом значении $x$ (как четном, так и нечетном), т. е. многочлен $P(x)$ не имеет целых корней.
Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$
принимает при $x = 0$ и $x = 1$ нечетные значения, то уравнение $P(x) = 0$ не имеет целых корней.
Решение:
Пусть $p$ и $q$ - два целых числа, одновременно четных или нечетных. Тогда разность $P(p)-P(q)$ четна. Действительно, выражение
$P(p) - P(q) = a_0(p^n - q^n) + a_1 (p^{n-1} - q^{n-1}) + \cdots + a_{n-2}(p^2 - q^2) + a_{n-1}(p - q)$
делится на четное число $p - q$.
В частности, при $p$ четном разность $P(p) - P(0)$ четна. Но по условию $P(0)$ нечетно: следовательно, $P(p)$ также нечетно, а потому $P(p) \neq 0$. Аналогично при $p$ нечетном разность $P(p) - P(1)$ четна; так как по условию $P(1)$ нечетно, то отсюда, как и выше, следует, что $P(p) \neq 0$.
Следовательно, $P(x)$ не может обращаться в нуль ни при каком целом значении $x$ (как четном, так и нечетном), т. е. многочлен $P(x)$ не имеет целых корней.
