Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3024
2019-05-06 
Доказать, что если многочлен 7-й степени с целыми коэффициентами
$a_0x^7 + a_1x^6 + a_2x^5 + a_3x^4 + a_4x^3 + a_5x^2 + a_6x + a_7$
при 7 целых значениях $x$ принимает значения +1 и -1, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.
Решение:
Если многочлен седьмой степени $P(x)$. разлагается в произведение двух многочленов $p(x)$ и $q(x)$ с целыми коэффициентами, то степень хотя бы одного из сомножителей не больше 3; будем считать, что этим сомножителем является $p(x)$. Если $P(x)$ при семи целых значениях $x$ принимает значение $\pm 1$, то $p(x)$ при тех же значениях $x$ тоже принимает значения $\pm 1$ (так как $p(x)q(x) = P(x)$). Среди семи целых значений $x$, при которых $p(x)$ принимает значения ± 1, найдутся четыре таких, при которых $p(x)$ принимает значение 1, или четыре таких, при которых $p(x)$ принимает значение - 1. В первом случае уравнение третьей степени $p(x) - 1 = 0$ имеет четыре корня, во втором случае уравнение $p(x) + 1 = 0$ имеет четыре корня. Ни то, ни другое не может иметь места, так как, например, в первом случае $p(x) - 1$ должно было бы делиться на многочлен четвертой степени (сравните с решением задачи 3021а)).
Доказать, что если многочлен 7-й степени с целыми коэффициентами
$a_0x^7 + a_1x^6 + a_2x^5 + a_3x^4 + a_4x^3 + a_5x^2 + a_6x + a_7$
при 7 целых значениях $x$ принимает значения +1 и -1, то его нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.
Решение:
Если многочлен седьмой степени $P(x)$. разлагается в произведение двух многочленов $p(x)$ и $q(x)$ с целыми коэффициентами, то степень хотя бы одного из сомножителей не больше 3; будем считать, что этим сомножителем является $p(x)$. Если $P(x)$ при семи целых значениях $x$ принимает значение $\pm 1$, то $p(x)$ при тех же значениях $x$ тоже принимает значения $\pm 1$ (так как $p(x)q(x) = P(x)$). Среди семи целых значений $x$, при которых $p(x)$ принимает значения ± 1, найдутся четыре таких, при которых $p(x)$ принимает значение 1, или четыре таких, при которых $p(x)$ принимает значение - 1. В первом случае уравнение третьей степени $p(x) - 1 = 0$ имеет четыре корня, во втором случае уравнение $p(x) + 1 = 0$ имеет четыре корня. Ни то, ни другое не может иметь места, так как, например, в первом случае $p(x) - 1$ должно было бы делиться на многочлен четвертой степени (сравните с решением задачи 3021а)).
