Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3023
2019-05-06 
Доказать, что если многочлен
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$
с целыми коэффициентами принимает при четырех целых значениях $x$ значение 7, то он не может принимать значение 14 ни при каком целом значении $x$.
Решение:
Пусть многочлен $P(x)$ равен 7 при $x = a, x = b, x = c$ и $x = d$. В таком случае уравнение $P(x) - 7 = 0$ имеет четыре целых корня $a, b, c;$ и $d$. Это значит, что многочлен $P(x) - 7$ делится на $x - a, x - b, x - c, x - d$, т. е.
$P(x) - 7 = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)p(x)$,
где $P(x)$ может равняться 1.
Предположим теперь, что многочлен $P(x)$ принимает при целом значении $x = A$ значение 14. Подставив $x = A$ в последнее равенство, мы получим:
$7 = (A - a) (A - b) (A - c) (A - d)p(A)$,
что невозможно, так как целые числа $A - a, A - b, A - c$ и $A - d$ все различны, а 7 нельзя разложить в произведение пяти множителей, из которых по крайней мере четыре отличны друг от друга.
Доказать, что если многочлен
$P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$
с целыми коэффициентами принимает при четырех целых значениях $x$ значение 7, то он не может принимать значение 14 ни при каком целом значении $x$.
Решение:
Пусть многочлен $P(x)$ равен 7 при $x = a, x = b, x = c$ и $x = d$. В таком случае уравнение $P(x) - 7 = 0$ имеет четыре целых корня $a, b, c;$ и $d$. Это значит, что многочлен $P(x) - 7$ делится на $x - a, x - b, x - c, x - d$, т. е.
$P(x) - 7 = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)p(x)$,
где $P(x)$ может равняться 1.
Предположим теперь, что многочлен $P(x)$ принимает при целом значении $x = A$ значение 14. Подставив $x = A$ в последнее равенство, мы получим:
$7 = (A - a) (A - b) (A - c) (A - d)p(A)$,
что невозможно, так как целые числа $A - a, A - b, A - c$ и $A - d$ все различны, а 7 нельзя разложить в произведение пяти множителей, из которых по крайней мере четыре отличны друг от друга.
