ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
а) Найти целое число $a$ такое, что

$(x-a)(x-10) + 1$

разлагается в произведение $(x+b)(x+c)$ двух множителей с целыми $b$ и $c$.
б) Найти такие отличные от нуля не равные между собой целые числа $a, b, c$, чтобы многочлен четвертой степени с целыми коэффициентами

$x(x-a) (x-b) (x-c) + 1$

можно было представить в виде произведения двух других многочленов с целыми коэффициентами.


Решение:


а) Пусть $(x - a) (x - 10) + 1 = (x + b)(x + с)$. Полагая в обеих частях равенства $x = - b$, получим:

$(- b - a) (-b - 10) + 1 = (- b + b) (- b + c) = 0$.

Отсюда

$(b + a)(b + 10)= - 1$.

Так как $a$ и $b$ - целые, то $b+a$ и $b+10$ - также целые. Но - 1 может быть представлена в виде произведения двух целых чисел только одним способом: $- 1 = 1 \cdot (- 1)$. Поэтому имеются только две возможности:

1) $b + 10 = 1, b = - 9$; тогда $b + a = -9 + a = - 1$, т. е. $a = 8$: $(x - 8) (x - 10) + 1 = (x - 9)^2$.

2) $b + 10 = - 1, b = - 11$; тогда $b + a = - 11 + a = 1$, т. е. $a = 12$: $(x - 12) (x - 10)+1 = (x - 11)^2$.

б) Так как многочлен четвертой степени можно разложить или в произведение многочлена первой степени и многочлена третьей степени или в произведение двух многочленов второй степени, то нам следует рассмотреть отдельна два случая:

А) $x(x - a)(x - b)(x - c) + 1 = (x + p) (x^3 + ax^2 + rx + s)$ (*)

(коэффициенты в правой части равенства при $x$ в первом множителе и при $x^3$ во втором множителе оба равны 1 или оба равны - 1, так как в произведении этих множителей коэффициент при $x^4$ должен быть равен коэффициенту при $x^4$ в выражении $x(x - a)(x - b)(x - c)+1$, т. е. 1; равенство же $x(x - a) (x - b) (x - c) + 1 = (-x+p_1)(- x^3 + q_1x^2 + r_1x + s_1)$ можно привести к виду (*), умножив оба сомножителя правой части на - 1).

Положив в равенстве (*) последовательно $x = 0, x = a, x = b$ и $x = c$ и учитывая, что 1 разлагается на множители только двумя способами $1 = 1 \cdot 1 = (-1) \cdot (- 1)$, мы получим, что четыре различных числа $0 + p = p, a + p, b + p$ и $c + p$ (напоминаем, что числа $0, a, b, c$ все различны) могут иметь только два значения + 1 и - 1, что невозможно.

Б) $x(x - a)(x - b)(x - c) + l = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$.

Отсюда, как и выше, получаем, что при $x = 0, x = a, x = b$ и $x = c$ оба многочлена, как $x^2 + px + q$, так и $x^2 + rx + s$, принимают значения 1 или -1. Но квадратный трехчлен $x^2 + px + q$ не может принимать одно и то же значение а при трех различных значениях $x$ (в противном случае квадратное уравнение $x^2 + px + q - a = 0$ имело бы три различных корня), откуда следует, что при двух из четырех значений $x = 0, x = a, x = b, x = с$ этот трехчлен принимает значение 1, а при двух других - значение -1. Предположим, что $0^2 + p \cdot 0 + q = q = 1$, и пусть $x = a$ есть то из значений $x = a, x = b$ и $x = c$, при котором этот трехчлен принимает то же самое значение 1; в таком случае при $x = b$ и $x = c$ он принимает значение - 1. Итак, мы имеем:

$a^2 + pa + 1 = 1, b^2 + pb + 1 = - 1, c^2 + pc + 1 = - 1$.

Из $a^2 + pa = a (a + p) = 0$ следует, что $a + p = 0, p = - a$ (ибо, по предположению, $a \neq 0$). Таким образом, два последних равенства принимают вид

$b^2 - ab = b(b - a)= -2, c^2 - ac = c(c - a) = - 2$.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

$b^2 - ab - c^2 + ac = (b - c) (b + c) - a(b - c) = (b - c)(b + c - a) = 0$,

откуда, так как $b \neq c$, имеем: $b + c - a = 0, a - b + c, b - a = - c, c - a = - b$. Теперь из равенства

$b(b - a) = - bc = -2$

получаем следующие значения для $b, c$ и $a$:

$b = 1, c = 2, a = b + c = 3, x(x - a)(x - b)(x - c) + 1 = x(x - 3)(x - 1) (x - 2) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2$

и

$b = - 1, c = - 2, a = b + c = - 3, x(x - a)(x - b)(x - c) + 1 = x(x + 3)(x + 1) (x + 2) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2$,

Аналогично, если $x^2 + px + q$ принимает при $x = 0$, и $x = a$ значение - 1, при $x = b$ и $x = c$ значение + 1, то мы имеем:

$q = - 1, a^2 + pa - 1 = - 1, b^2 + pb - 1 = 1, c^2 + pc - 1 = 1$,

откуда

$p = - a, b(b - a) = c(c - a) = 2, b^2 - ab - c^2 + ac = 0, (b - c) (b + c - a) = 0, a = b + c, b - a = - c, -bc = 2$.

Мы получаем, таким образом, еще две возможные системы значений для $a, b$ и $c$:

$b = 2, c = - 1, a = b + c = 1, x(x - a)(x - b)(x - c) = x(x - 1)(x - 2)(x +1) + 1 = (x^2 - x - 1)^2$;
$b = 1, c = - 2, a = b + c = - 1, x(x - a)(x - b)(x - c) = x(x + 1)(x - 1)(x + 2) + 1 = (x^2 + x - 1)^2$.

Примечание. Другое решение этой задачи приведено в заключительной части решения задачи 3021 б).
Ответ: a) $a = 8$ и $a = 12$. 6) $b = 1, c = 2, a = 3$; $b = - 1, c = - 2, a = - 3$; $b = 2, c = - 1, a = 1$ и $b = 1, c = - 2, a = -1$.