2014-06-07
Верно ли, что если площади четырех граней одного тетраэдра равны площадям соответствующих граней другого, то объемы этих тетраэдров равны?
Решение:
Пусть через концы отрезка АВ длины $d$ проведены прямые, перпендикулярные друг другу и отрезку АВ. На этих прямых расположены по одному отрезку длины а с серединами А и В соответственно. Концы этих отрезков являются вершинами тетраэдра, у которого каждая грань имеет площадь
$(1/2)a \sqrt{(a/2)^{2} + d^{2}} = (1/4)a \sqrt{a^{2} + 4d^{2}}$,
а объем равен $a^{2}d/6$. Поэтому два тетраэдра, соответствующие значениям $a_{1} = 3, d_{2} = \sqrt{56}$ и соответственно $a_{2} = 1, d_{2} = \sqrt{56}$, имеют одинаковые площади граней (ибо $a_{1} \sqrt{a^{2}_{1} + 4d^{2}_{1}} = 15 = a_{2} \sqrt{a^{2}_{2} + 4d^{2}_{2}}$), но разные объемы (ибо $a_{1}^{2} = 18 \neq \sqrt{56} = a^{2}_{2}d_{2}$). Итак, ответ на вопрос задачи отрицателен.